Question

已知a，b，c，d是兩兩不等的正整數(shù)，并且a+b=cd，ab=c+d．求出所有滿足上述要求的四元數(shù)組（a，b，c，d）．

Answer 1

考點：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：分類討論

分析：先根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)a=1或b=1時才有a+b≥ab，如果a、b都不等于1，則c+d=ab＞a+b=cd，由此知c=1或d=1，因此a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1，再根據(jù)a、b、c、d分別為1進行討論即可．

解答：解：由于a≠b，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1或b=1時才有a+b≥ab，如果a、b都不等于1，則c+d=ab＞a+b=cd，
由此知c=1或d=1，
因此a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1，
如果a=1，則c=2，d=3，b=5或c=3，d=2，b=5；
b=1，則c=2，d=3，a=5或c=3，d=2，a=5；
c=1，則a=2，b=3，d=5或a=3，b=2，d=5；
d=1，則a=2，b=3，c=5或a=3，b=2，c=5．
故答案為：（1，5，2，3）、（1，5，3，2）、（5，1，2，3）、（5，1，3，2）、（2，3，1，5）、（2，3，5，1）、（2，3，5，1）、（3，2，1，5）．

點評：本題考查的是方程的整數(shù)根問題，根據(jù)題意得出a、b、c、d中總有一個（也只有一個）為1是解答此題的關(guān)鍵．