2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷理科數(shù)學(xué)
（五）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只
有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．復(fù)數(shù)
，則
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知函數(shù)
是定義在
上的奇函數(shù)，當(dāng)
時(shí)，
，那么
的值
為
A．2 B．
C．0 D．
3．函數(shù)
在
上恒有
，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是
A．（1，2） B．
C．
D．
4．已知直線
與橢圓
總有交點(diǎn)，則m的取值范圍為
A．（1，2] B．[1，2）
C．
D．
5．從5名羽毛球隊(duì)員中選3人參加團(tuán)體比賽，其中甲在乙之前出場的概率為
A．
B．
C．
D．
6．已知
，則
A．1 B．
C．
D．2
7．已知
的展開式前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是
A．1 B．
有關(guān)
8．使函數(shù)
是奇函數(shù)，且在
上是減函數(shù)的
的
一個(gè)值是
A．
B．
C．
D．
9．已知
表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)（0，0）和（，1），則
的取值范圍是
A．（
，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）
10．已知雙曲線
的左準(zhǔn)線為
，左、右焦點(diǎn)分別為
、
，拋物線
的準(zhǔn) 線為，焦點(diǎn)是，若
與的一個(gè)交點(diǎn)為
，則
的值等于
A．40 B．
11．某娛樂中心有如下摸獎(jiǎng)活動：拿8個(gè)白球和8個(gè)黑球放在一盒中，規(guī)定：凡摸獎(jiǎng)?wù)�，�?人每次交費(fèi)1元，每次從盒中摸出5個(gè)球，中獎(jiǎng)情況為：摸出5個(gè)白球中20元，摸出 4個(gè)白球1個(gè)黑球中2元，摸出3個(gè)白球2個(gè)黑球中價(jià)值為0．5元的紀(jì)念品1件，其 他情況無任何獎(jiǎng)勵(lì)。若有1560人次摸獎(jiǎng)，不計(jì)其他支出，用概率估計(jì)該中心收入錢數(shù) 為
A．120元 B．480元 C．980元 D．148元
12．如圖甲所示，四邊形
中，
，將
沿
折起，使平面
平面
，構(gòu)成三棱錐
，如圖乙所示，則二面角 
的正切值為
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．不等式
的解集是
．
14．已知過球面上
、
、
三點(diǎn)的截面和球心的距離是球直徑的
，且
， 則球面的面積為
．
15．設(shè)直線
與圓
的交點(diǎn)為
，當(dāng)
、
取最小值 時(shí)，實(shí)數(shù)的值為
．
16．給出下面四個(gè)命題，其中正確命題的序號是
（填出所有正確命題的序號）．
① 若
，則
；
② 函數(shù)
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/6aa879504a44857e377904682f8b8eca.zip/73526.files/image011.gif" >；
③ 數(shù)列
一定為等比數(shù)列；
④ 兩個(gè)非零向量
，若
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
在
中，、
、
分別是角、、的對邊，且
、
、
，若
，試判斷三角形的形狀．
18．（本小題滿分12分）
某城市甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽3個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0．4、0．5、0．6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響．設(shè)
表示客人離開該城市時(shí)游覽過的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值．
（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）記“函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增”為事件，求事件的
概率，
19．（本小題滿分12分）
設(shè)數(shù)列
滿足：
．
（1）令
，求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列
的前項(xiàng)和
．
20．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知正四棱柱
的底面邊長為1，點(diǎn)
在棱
上，
平面
，截面的面積為
．
（1）求
與底面所成角的大�。�
（2）若
與的交點(diǎn)為
，點(diǎn)
在
上，且
，求
的長．
21．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知橢圓的方程為
，點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足
．過點(diǎn)的直線橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn)．求：
（1）點(diǎn)的軌跡方程；
（2）點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
22．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（為常數(shù)），直線與函數(shù)、
的圖象都相切，且與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線的方程及的值；
（2）若
（注：
是的導(dǎo)函數(shù)），求
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)
時(shí)，試討論方程
的解的個(gè)數(shù)．
1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．B 12．D
1．
，在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．
3．當(dāng)
時(shí)，函數(shù)
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯(lián)立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數(shù)形結(jié)合，因?yàn)橹本�
恒過定點(diǎn)（0，1），欲直線與橢圓
總有交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即
又
的取值范圍為
．
5．
6．（略）
7．展開式前二項(xiàng)的系數(shù)滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項(xiàng)為
．
8．
，欲使
為奇函數(shù)，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數(shù)，故B正確
當(dāng)
時(shí)，
，其在上是增函數(shù)，不符合要求．
9．
等價(jià)于
畫圖可知
，故
．
10．如圖甲所示．設(shè)
，點(diǎn)
到直線
的距離為
則由拋物線定義得
，由點(diǎn)在雙曲線上，及雙曲線第一定義得
，又由雙曲線第二定義得
，解之得
．
11．由巳知中獎(jiǎng)20元的概率
；中獎(jiǎng)2元的概率
，中獎(jiǎng)5元的概率
，由上面知娛樂中心收費(fèi)為1560元．付出
元，收入
元，估計(jì)該中心收入480元．
12．設(shè)
中點(diǎn)為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長線于
，蓮
．則
為所求，設(shè)
，則
，在
中可求出
，則
．
二、
13．
．提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數(shù)形結(jié)合法．
令
，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經(jīng)判斷，
為截面圓的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當(dāng)
時(shí)，
取得最小值．
16．①②④
三、
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡得
為等邊三角形．
說明；本題是向量和三角相結(jié)合的題目，既考查了向量的基本知識，又考查了三角的有關(guān)知識，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來判斷三角形的形狀．
18．解：（1）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”、“客人游覽乙景點(diǎn)”、 “客人游覽丙景點(diǎn)”為事件
、
、
．由已知、、相互獨(dú)立，
，客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2．3，相應(yīng)地客人沒有游覽的景點(diǎn)的可能取值為3，2，1，0，
的取值為1，3，且
的分布列為
1
3
0．76
0．24
．
（2）解法一：
在
上單凋遞增，要使在上單調(diào)遞增，
當(dāng)且僅當(dāng)
，即
．從而
．
解法二：當(dāng)
時(shí)，
在單調(diào)遞增當(dāng)
時(shí)，
在不單調(diào)遞增，
．
19．解：（1）因
故
是公比為
的等比數(shù)列，且
故
．
（2）由
得
注意到
，可得
，即
記數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，則
兩式相減得：
故
從而
．
20．解：（1）如圖所示，連接
因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/6aa879504a44857e377904682f8b8eca.zip/73526.files/image556.gif" >平面
，平面
平面
，平面平面所以
；又
為
的中點(diǎn)，故為
的中點(diǎn)
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解琺一；如圖建立直角坐標(biāo)系
則
， 
設(shè)
點(diǎn)的坐標(biāo)為
故
點(diǎn)的坐標(biāo)為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設(shè)點(diǎn)、
的坐標(biāo)分別為
、
點(diǎn)
的坐標(biāo)為
當(dāng)
時(shí)，設(shè)直線的斜率為
直線過點(diǎn)
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+④式得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程
⑦
當(dāng)
時(shí)，不存在，此時(shí)平行于
軸，因此的中點(diǎn)一定落在
軸上，即的坐標(biāo)為
,顯然點(diǎn)(
，0）滿足方程⑦
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程
設(shè)方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/6aa879504a44857e377904682f8b8eca.zip/73526.files/image693.gif" >，又已知
，
所以當(dāng)
時(shí)．
，曲線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)
時(shí)，
，曲線與橢圓沒有交點(diǎn)，因?yàn)椋?，0）在橢圓內(nèi)，又在曲線上，所以曲線在橢圓內(nèi)，故點(diǎn)的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點(diǎn)（0，0），（0，
）
由
解得曲線與軸交于點(diǎn)（0，0）．（，0）
當(dāng)
，即點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．
當(dāng)
，且
，即點(diǎn)不在橢圓外且在除去原點(diǎn)的軸上時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，）與（0，0），同理，當(dāng)
且
時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（，0）、（0，0）．
當(dāng)，且時(shí)，即點(diǎn)不在橢圓外，且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（，0）、（0，）與（0，0）．
22．解：（1）由
故直線的斜率為1．切點(diǎn)為
，即（1，0），故的方程為：
，
∴直線與
的圖象相切．等價(jià)于方程組
，只有一解，
即方程
有兩個(gè)相等實(shí)根．
．
（2）
，由
，
，當(dāng)
時(shí)，
是增函數(shù)。即
的單調(diào)遞增區(qū)間為（
，0）．
（3）由（1）知，
，令
由
令
，則
當(dāng)變化時(shí)，
的變化關(guān)系如下表：
（
）
ㄊ
0
極大植ln2
（，0）
ㄋ
0
0
極小植
（0，1）
ㄊ
1
0
極大值ln2
（1，
）
ㄋ
據(jù)此可知，當(dāng)
時(shí)，方程有三解
當(dāng)
，方程有四解
當(dāng)
或
時(shí)，方程有兩解
當(dāng)
時(shí)，方程無解．
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