Question

3．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，半徑為R的四分之一圓弧軌道AB，水平軌道BC與斜面CD平滑連接在一起，圓弧軌道的半徑OB和BC垂直，水平軌道BC的長(zhǎng)度大于$\frac{1}{2}$πR，斜面足夠長(zhǎng)，在圓弧軌道上靜止著N個(gè)質(zhì)量為m，半徑為r（r＜＜R）的光滑剛性小球，小球恰好將圓弧軌道鋪滿，從最高點(diǎn)A到最低點(diǎn)B依次標(biāo)記為1、2、3…N．現(xiàn)將圓弧軌道末端B處的阻擋物拿走，N個(gè)小球由靜止開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，不計(jì)摩擦與空氣阻力，若以BC所在的平面為重力勢(shì)能的零勢(shì)面．下列說(shuō)法正確的是 （　�。�

• A． 第N個(gè)小球在斜面CD上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能減小
• B． 第N個(gè)小球在斜面CD上向上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能增大
• C． N個(gè)小球構(gòu)成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，且總機(jī)械能E=$\frac{1}{2}$NmgR
• D． 第1個(gè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度的大小v＜$\sqrt{gR}$

Answer 1

分析 N個(gè)小球在BC和CD上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相鄰兩個(gè)小球始終相互擠壓，把N個(gè)小球看成整體，則小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，弧AB的長(zhǎng)度等于小球全部到斜面上的長(zhǎng)度，而在圓弧上的重心位置比在斜面上的重心位置可能高也可能低，所以第N個(gè)小球在斜面上能達(dá)到的最大高度可能比R小，也可能比R大，小球整體的重心運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解第一個(gè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度．

解答 解：C、把N個(gè)小球看成整體，則小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，由于重心低于$\frac{R}{2}$，故總機(jī)械能小于E=$\frac{1}{2}$NmgR；故C錯(cuò)誤；
AB、在下滑的過(guò)程中，水平面上的小球要做勻速運(yùn)動(dòng)，而曲面上的小球要做加速運(yùn)動(dòng)，則后面的小球?qū)η懊娴男∏蛞�向前壓力的作用，所以小球之間始終相互擠壓，沖上斜面后后面的小球把前面的小球往上壓，所以小球之間始終相互擠壓；故第N個(gè)小球受其他小球的壓力做功，機(jī)械能增加；故A錯(cuò)誤，B正確；
D、小球整體的重心運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv²=mg•$\frac{R}{2}$
解得：
v=$\sqrt{gR}$
而第一個(gè)球在下滑過(guò)程中，始終受到第二個(gè)球?qū)λ�的壓力，所以�?個(gè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度v′＜$\sqrt{gR}$，故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小球得受力情況，能把N個(gè)小球看成一個(gè)整體處理，難度適中．