Question

一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的內(nèi)徑大得多。在圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A球的質(zhì)量為m₁，B球的質(zhì)量為m₂。它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度都為V₀。設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m₁、m₂、R與V₀應(yīng)滿足的關(guān)系式是 　　　　　　　　 。

Answer 1

分析與解：如圖7-1所示，A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為V₀，A球受到向下重力mg和細(xì)管向上彈力N₁的作用，其合力提供向心力。那么，N₁-m₁g=m₁ [1]

這時(shí)B球位于最高點(diǎn)，速度為V₁，B球受向下重力m₂g和細(xì)管彈力N₂作用。球作用于細(xì)管的力是N₁、N₂的反作用力，要求兩球作用于細(xì)管的合力為零，即要求N₂與N₁等值反向，N₁=N₂ [2]， 且N₂方向一定向下，對(duì)B球：N₂+m₂g=m₂ [3]

B球由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為V₀，此過(guò)程中機(jī)械能守恒：

即m₂V₁²+m₂g2R=m₂V₀² [4]

由[1][2][3][4]式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R與V₀滿足的關(guān)系式是：

(m₁-m₂)+(m₁+5m₂)g=0 [5]

說(shuō)明：（1）本題不要求出某一物理量，而是要求根據(jù)對(duì)兩球運(yùn)動(dòng)的分析和受力的分析，在建立[1]-[4]式的基礎(chǔ)上得到m₁、m₂、R與V₀所滿足的關(guān)系式[5]。（2）由題意要求兩球?qū)�圓管的合力為零知，N₂一定與N₁方向相反，這一點(diǎn)是列出[3]式的關(guān)鍵。且由[5]式知兩球質(zhì)量關(guān)系m₁＜m₂。