Question

一內壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內，環(huán)的半徑為R（比細管的內徑大得多），在圓管中有兩個直徑略小于細管內徑的小球（可視為質點）A、B，A球質量為m₁，B球質量為m₂，它們沿圓管順時針運動，經過圓管最低點時速度都是v₀，若某時刻A球在圓管最低點時，B球恰好在圓管最高點，兩球作用于圓管的合力為零，求m₁、m₂、R與v₀應滿足的關系式．

Answer 1

分析：根據題意，分析物理情景．A球對圓管的壓力向下．為使兩球作用于圓管的合力為零，B球對圓管的作用力只能向上，所以軌道對B球的作用力方向向下．對A、B兩球用牛頓第二定律分別列出方程，根據管對兩球的作用力N₂與N₁等值反向，得到速度的關系式．再結合機械能守恒定律，就能得到m₁、m₂、R與v₀應滿足的關系式．

解答：解：如圖所示，A球運動到最低點時速度為V₀，A球受到向下重力mg和細管向上彈力N₁的作用，其合力提供向心力．根據牛頓第二定律，得N₁-m₁g=m₁

v 2 0

R

①
   這時B球位于最高點，設速度為V₁，B球受向下重力m₂g和細管彈力N₂作用．球作用于細管的力是N₁、N₂的反作用力，要求兩球作用于細管的合力為零，即要求N₂與N₁等值反向，N₁=N₂ ②，且N₂方向一定向下，
   對B球：N₂+m₂g=m₂

v 2 1

R

③B球由最高點運動到最低點時速度為V₀，此過程中機械能守恒定律，得：
　 即

1

2

m₂V₁²+m₂g?2R=

1

2

m₂V₀² ④
　 由①②③④式消去N₁、N₂和V₁后得到m₁、m₂、R與V₀滿足的關系式是：
　 （m₁-m₂）

v 2 0

R

+（m₁+5m₂）g=0 ⑤
答：m₁、m₂、R與v₀應滿足的關系式為 （m₁-m₂）

v 2 0

R

+（m₁+5m₂）g=0

點評：本題的關鍵語句：A球在圓管最低點時，B球恰好在圓管最高點，兩球作用于圓管的合力為零．這是解題的突破口．綜合題的基礎還是對兩球運動的分析和受力的分析．