若定積分

∫

2a a

（2x+

1

x

）dx=3+ln2（a＞0），則a=．

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-2x+2（其中x∈[t，t+1]，t∈R）的最小值為g（t），求g（t）的表達(dá)式．

已知sinβ+cosβ=

1

5

，β∈（0，π）
（1）求tanβ的值；
（2）求sin2β的值；
（3）你能根據(jù)所給的條件，自己構(gòu)造出一些求值問題嗎？

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）=

1

f(x)+f(x+1)+m

的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

設(shè)等差數(shù)列{a_n}滿足a₂=9，且a₁，a₅是方程x²-16x+60=0的兩根．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

求函數(shù)f（x）=

1

2

mx2+2x+mlnx的單調(diào)區(qū)間．

已知非負(fù)實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=3．
（1）求

2x+1

+

2y+1

+

2z+1

的最大值；
（2）求證：

x2

1+x4

+

y2

1+y4

+

z2

1+z4

≤

1

1+x

+

1

1+y

+

1

1+z

．

某同學(xué)的數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題是：在校內(nèi)一塊不規(guī)則土地OABC（測繪圖如圖所示）規(guī)劃一個矩形運(yùn)動場地．經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)AB⊥BC，OA∥BC，曲線段OC可近似看作是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段，OA=20m，AB=BC=40m．
（1）該同學(xué)在測繪圖上建立了以O(shè)為原點，直線AO為x軸的直角坐標(biāo)系，請幫他計算曲線段OC對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如果矩形運(yùn)動場地BDEF的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點E落在曲線段OC上，該同學(xué)應(yīng)如何規(guī)劃才能使運(yùn)動場地面積最大？

已知函數(shù)f（x）=（1-x）e^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若x≥0時，g（x）=e^x+λ1n（1-x）-1≤0，求λ的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

1

en+1

+

1

en+2

+

1

en+3

+…+

1

e2n

＜n+ln2（n∈N^*）．

設(shè)a是一個自然數(shù)，f（a）是a的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列{a_n}：a₁是自然數(shù)，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求f（99），f（2014）；
（Ⅱ）若a₁≥100，求證：a₁＞a₂；
（Ⅲ）求證：存在m∈N^*，使得a_m＜100．