Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|，x∈R．
（1）若不等式f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，求a的值；
（2）若g（x）=

1

f(x)+f(x+1)+m

的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）≤a，得

1-a

2

≤x≤

1+a

2

．再根據(jù)不等式f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，可得

1-a 2 =0 1+a 2 =1

，由此解得a的值．
（2）根據(jù)g（x）=

1

|2x-1|+|2x+1|+m

的定義域為R，可得|2x-1|+|2x+1|+m≠0恒成立．求得|2x-1|+|2x+1|的最小值為2，可得m的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）≤a，得

1-a

2

≤x≤

1+a

2

．
因為不等式f（x）≤a的解集為{x|0≤x≤1}，所以

1-a 2 =0 1+a 2 =1

，解得a=1．
（2）g（x）=

1

f(x)+f(x+1)+m

=

1

|2x-1|+|2x+1|+m

的定義域為R，可得|2x-1|+|2x+1|+m≠0恒成立．
∵|2x-1|+|2x+1|≥|（2x-1）-（2x+1）|=2，∴m＞-2．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．