Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB垂直，并與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為弦CD上異于點(diǎn)E的任意一點(diǎn)，連接BF、AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M、N．
（1）求證：B、E、F、N四點(diǎn)共圓；
（2）求證：AC²+BF•BM=AB²．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段,圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：（1）連結(jié)BN，證明∠BEF+∠BNF=180°，即可證明B、E、F、N四點(diǎn)共圓；
（2）由直角三角形的射影原理可知AC²=AE•AB，由Rt△BEF與Rt△BMA相似可知：

BF

BA

=

BE

BM

，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：（1）連結(jié)BN，則AN⊥BN，
又CD⊥AB，
則∠BEF=∠BNF=90°，即∠BEF+∠BNF=180°，
則B、E、F、N四點(diǎn)共圓．…（5分）
（2）由直角三角形的射影原理可知AC²=AE•AB，
由Rt△BEF與Rt△BMA相似可知：

BF

BA

=

BE

BM

，
∴BF•BM=BA•BE=BA•（BA-EA），
∴BF•BM=AB²-AB•AE，
∴BF•BM=AB²-AC²，即AC²+BF•BM=AB²．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查四點(diǎn)共圓，考查三角形相似，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．