Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-

1

x

（a∈R）．
（Ⅰ）a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂），都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞5，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求得f（1）及f′（1）的值，由直線方程的點(diǎn)斜式得y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞5，得到

f(x2)-5x2-[f(x1)-5x1]

x2-x1

＞0，可得函數(shù)g（x）=f（x）-5x在（0，+∞）上是增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分離參數(shù)a后得到2a≤

1

x3

+

1

x2

-

5

x

．令

1

x

=t換元后構(gòu)造函數(shù)h（t）=t³+t²-5t，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）a=0時(shí)，f（x）=lnx-

1

x

，則f′(x)=

1

x

+

1

x2

，
f′（1）=2，
又f（1）=-1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：
y-（-1）=2（x-1），
即2x-y-3=0；
（Ⅱ）∵

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞5，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

-5＞0，
∴

f(x2)-5x2-[f(x1)-5x1]

x2-x1

＞0，
設(shè)g（x）=f（x）-5x，則g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
g（x）=lnx-ax²-

1

x

-5x，
g′(x)=

1

x

-2ax+

1

x2

-5．
由g′（x）≥0，得2a≤

1

x3

+

1

x2

-

5

x

．
令

1

x

=t，
則h（t）=t³+t²-5t，
h′（t）=3t²+2t-5=（3t+5）（t-1），
∵t∈（0，1）時(shí)，h′（t）＜0，
t∈（1，+∞）時(shí)，h′（t）＞0，
∴h（t）_min=h（1）=-3．
∴2a≤-3，
則a≤-

3

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了分離變量法和構(gòu)造函數(shù)法，是高考試卷中的壓軸題．