【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況,抽取甲、乙兩班,調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間(單位:小時),統(tǒng)計結果繪成頻率分別直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學生人數(shù)相同,甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區(qū)間的人數(shù);
(II)從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試,設4人中甲班學生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.
【答案】(I),甲班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為人;
(II)的分布列為:
.
【解析】
試題分析:(I)由頻率分布直方圖中頻率之和即各小矩形面積之和為列出方程,可求的值;先由甲班學習時間在區(qū)間的有人,計算甲班的學生人數(shù)為,用甲班總人數(shù)乘以學習時間在區(qū)間的頻率即可;(II)先計算乙班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為人,由(I)知甲班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為3人,兩班中學習時間大于小時的同學共人,分別計算從這人中選取人甲班人數(shù)分別為時的概率,即可得到概率分布列及期望.
試題解析: (I)由直方圖知,,解得,
因為甲班學習時間在區(qū)間的有8人,所以甲班的學生人數(shù)為.
所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人,所以甲班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為(人).
(II)乙班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為(人).
由(I)知甲班學習時間在區(qū)間的人數(shù)為3人.在兩班中學習時間大于10小時的同學共7人,的所有可能取值為0,1,2,3.
,,,.
所以隨機變量的分布列為:
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項和為,,是6與的等差中項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù),使不等式恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)證明當時,關于的不等式恒成立;
(3)若正實數(shù)滿足,證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)設函數(shù),其中,曲線過點,且在點處的切線方程為.
(I)求的值;
(II)證明:當時,;
(III)若當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)和.
(1)若函數(shù)在區(qū)間不單調,求實數(shù)的取值范圍;
(2)當時,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點.
(Ⅰ)證明:AD⊥D1F;
(Ⅱ)求AE與D1F所成的角;
(Ⅲ)證明:面AED⊥面A1FD1.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,
且,,分別為,的中點.
(I)求證:平面;
(II)求證:平面平面;
(III)求三棱錐的體積.
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