【題目】已知數(shù)列的前項和為,是6與的等差中項.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)是否存在正整數(shù),使不等式恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)存在,.

【解析】

試題分析:(1)解法一:根據(jù)的等差中項,利用等差中項得到,當時有,-得:,從而可得數(shù)列通項解法二:根據(jù)的等差中項,利用等差中項得到,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進而利用得到數(shù)列的通項;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項和,代入化簡,討論的奇偶發(fā)現(xiàn),為奇數(shù)時,恒成立為偶數(shù)時,可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).

試題解析:(1)解法一:因為是6與的等差中項,

所以,即,

時有

,即都成立

又根據(jù),所以

所以.所以數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列.

解法二:因為是6與的等差中項

所以,即

由此得,

,所以,

所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.

,即,

所以,當時,

時,也適合上式,所以.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,

數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,

所以其前項和為.

原問題等價于恒成立.

為奇數(shù)時,不等式左邊恒為負數(shù),右邊恒為正數(shù),所以對任意正整數(shù)不等式恒成立;

為偶數(shù)時,等價于恒成立,

,有,則等價于恒成立,

因為為正整數(shù),二次函數(shù)的對稱軸顯然在軸左側(cè),

所以當時,二次函數(shù)為增函數(shù),故只須,解得,,所以存在符合要求的正整數(shù),且最大值為11.

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規(guī)定:當食品中的有害微量元素的含量在時為一等品,在為二等品,20以上為劣質(zhì)品.

1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù),再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個,求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率;

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