【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:在定義域上為減函數(shù);
(2)若時(shí),討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn); 當(dāng)或時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
【解析】
試題分析:(1)先求函數(shù)的定義域,再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令令,則,由此可得,即即,,可證結(jié)論成立;(2),構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,畫出函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合零點(diǎn)情況.
試題解析: (1)由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
.
令,則,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
∴,即,
∴,∴在定義域上為減函數(shù).
(2)函數(shù)的零點(diǎn)情況,即方程的根情況,
∵,∴方程可化為,
令,則,
令,可得,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;
∴,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴的圖象大致如圖示:
當(dāng)時(shí),方程沒有根,
當(dāng)或時(shí),方程有一個(gè)根,
當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)根.
∴當(dāng)時(shí),函數(shù)沒有零點(diǎn);
當(dāng)或時(shí),函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】假設(shè)某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
試求:(1)y與x之間的回歸方程;
(2)當(dāng)使用年限為10年時(shí),估計(jì)維修費(fèi)用是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)時(shí), 有恒成立, 求整數(shù)最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(I)求證:在區(qū)間上單調(diào)遞增;
(II)若,函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,求的試題分析式.并判斷是否有最大值和最小值,請(qǐng)說明理由(參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若不等式的解集是,求不等式的解集;
(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意的都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三文科名學(xué)生參加了月份的模擬考試,學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文情況,利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,抽出的名學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文成績(jī)?nèi)缦卤?
(1)將學(xué)生編號(hào)為:, 若從第行第列的數(shù)開始右讀,請(qǐng)你依次寫出最先抽出的 個(gè)人的編號(hào)(下面是摘自隨機(jī)用表的第四行至第七行)
(2)若數(shù)學(xué)優(yōu)秀率為,求的值;
(3)在語文成績(jī)?yōu)榱嫉膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績(jī)“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況,抽取甲、乙兩班,調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間(單位:小時(shí)),統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分別直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù);
(II)從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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