Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為整數(shù), 且當(dāng)時(shí),, 求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）若，增區(qū)間為，若，減區(qū)間為,增區(qū)間為；（2）．

【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)工具，結(jié)合分類討論思想對(duì)進(jìn)行分類討論；（2）由,代入原不等式后可將原命題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí),，令, 從而原命題可轉(zhuǎn)化為 ,然后利用導(dǎo)數(shù)工具求．

試題解析：（1）函數(shù)的定義域是,若,則,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．若, 則當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),; 所以,在單調(diào)遞減,

在單調(diào)遞增．

（2）由于,所以,故當(dāng)時(shí),等價(jià)于① 令,

則,由（1）知,當(dāng)時(shí), 函數(shù)在

上單調(diào)遞增, 而在上存在唯一的零點(diǎn), 故

在上存在唯一的零點(diǎn), 設(shè)此零點(diǎn)為,則有,當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),; 所以在上的最小值為,又由,可得

,由于 ①式等價(jià)于,故整數(shù)的最大值為．