【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的焦點(diǎn)分別為 、 ,點(diǎn)P在橢圓C上,滿足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=4
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)A(1,0),試探究是否存在直線l:y=kx+m與橢圓C交于D、E兩點(diǎn),且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】解:(I)∵tan∠F1PF2=4 .∴cos∠F1PF2= .設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,∵|PF1|=7|PF2|,∴m=7n.
聯(lián)立 ,解得a=2,m= ,n=
∴b2=a2﹣c2=1,
故所求C的方程為
(II)假設(shè)存在直線l滿足題設(shè),設(shè)D(x1 , y1),E(x2 , y2),
將y=kx+m代入 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=﹣16(m2﹣4k2﹣1)>0,
得4k2+1>m2 , ①
,
設(shè)D,E中點(diǎn)為M(x0 , y0),M ,
∵kAMk=﹣1,得② ,
將②代入①得 ,
化簡(jiǎn)得20k4+k2﹣1>0(4k2+1)(5k2﹣1)>0,解得
∴存在直線l,使得|AD|=|AE|,此時(shí)k的取值范圍為
【解析】(Ⅰ)由tan∠F1PF2=4 .可得cos∠F1PF2= .設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由|PF1|=7|PF2|,可得m=7n.
利用橢圓的定義及其余弦定理可得 ,解得即可得出.(II)假設(shè)存在直線l滿足題設(shè),設(shè)D(x1 , y1),E(x2 , y2),將y=kx+m代入橢圓方程可得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由于△>0,可得4k2+1>m2 , 設(shè)D,E中點(diǎn)為M(x0 , y0),利用根與系數(shù)的關(guān)系可得: ,利用kAMk=﹣1,得 ,代入△>0解出即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.若AE:BE=CF:BF,則AC∥平面EFGH
B.若E,F(xiàn),G,H分別為各邊中點(diǎn),則四邊形EFGH為平行四邊形
C.若E,F(xiàn),G,H分別為各邊中點(diǎn)且AC=BD,則四邊形EFGH為矩形
D.若E,F(xiàn),G,H分別為各邊中點(diǎn)且AC⊥BD,則四邊形EFGH為矩形

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A. B. C. D.

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(1)從甲班的樣本中有放回的隨機(jī)抽取 2 個(gè)數(shù)據(jù),求其中只有一個(gè)優(yōu)秀成績(jī)的概率;
(2)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)的樣本中分別抽取2名同學(xué)的成績(jī),記獲優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.

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(2)在不喜愛足球運(yùn)動(dòng)的觀眾中,按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目,求這2人至少有一位男性的概率.

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