【題目】已知向量a=(1,sin x),b=,函數(shù)f(x)=a·b-cos 2x.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈時,求函數(shù)f(x)的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式和兩角和與差的正弦和余弦公式,以及二倍角公式,化簡即可求出函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案;(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.
(1)函數(shù)f(x)=a·b-cos 2x=cos 2xcos -sin 2xsin cos 2x=-sin.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+,可得kπ+≤x≤kπ+,故單調(diào)遞增區(qū)間為:.
(2)當(dāng)x∈時,可得2x+,因此sin,所以函數(shù)f(x)的值域是.
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【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+2﹣2an+1+an=0(n∈N*),a2=4,其前7項和為42,設(shè)數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn滿足b1=a1﹣1,S30﹣(310+1)S20+310S10=0.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)令cn=1+log3 ,dn= + ,求證:數(shù)列{dn}的前n項和Tn≥ .
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【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點,當(dāng)∠F1MF2=90°時,△F1MF2的面積為1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點,延長直線AF1,AF2分別與橢圓交于點B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)由題意可求得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,
當(dāng)直線的斜率不存在或直線的斜率不存在時,.
當(dāng)直線、的斜率存在時,,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理計算可得直線的斜率為,直線的斜率為,則.綜上可得:直線與的斜率之積為定值.
(Ⅰ)設(shè)由題,
解得,則,橢圓的方程為.
(Ⅱ)設(shè),,當(dāng)直線的斜率不存在時,
設(shè),則,直線的方程為代入,
可得 ,,則,
直線的斜率為,直線的斜率為,
,
當(dāng)直線的斜率不存在時,同理可得.
當(dāng)直線、的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,
則由消去可得:,
又,則,代入上述方程可得:
,,
則 ,
設(shè)直線的方程為,同理可得 ,
直線的斜率為
直線的斜率為, .
所以,直線與的斜率之積為定值,即.
【點睛】
(1)解答直線與橢圓的題目時,時常把兩個曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.
(2)涉及到直線方程的設(shè)法時,務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+b)(-a),(b>0),在(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-1=0.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)若方程f(x)=m有兩個實數(shù)根x1,x2,且x1<x2,證明:x2-x1≤1+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】按下列要求分配6本不同的書,各有多少種不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配給甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外兩人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有人在路邊設(shè)局,宣傳牌上寫有“擲骰子,贏大獎”.其游戲規(guī)則是這樣的:你可以在1,2,3,4,5,6點中任選一個,并押上賭注元,然后擲1顆骰子,連續(xù)擲3次,若你所押的點數(shù)在3次擲骰子過程中出現(xiàn)1次,2次,3次,那么原來的賭注仍還給你,并且莊家分別給予你所押賭注的1倍,2倍,3倍的獎勵.如果3次擲骰子過程中,你所押的點數(shù)沒出現(xiàn),那么你的賭注就被莊家沒收.
(1)求擲3次骰子,至少出現(xiàn)1次為5點的概率;
(2)如果你打算嘗試一次,請計算一下你獲利的期望值,并給大家一個正確的建議.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,其他四個側(cè)面都是等邊三角形,與的交點為,為側(cè)棱上一點.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)當(dāng)二面角的大小為時,
試判斷點在上的位置,并說明理由.
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【題目】已知全集U=R,若集合A={y|y=3﹣2﹣x},B={x| ≤0},則A∩UB=( )
A.(﹣∞,0)∪[2,3)
B.(﹣∞,0]∪(2,3)
C.[0,2)
D.[0,3)
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的焦點分別為 、 ,點P在橢圓C上,滿足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=4 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點A(1,0),試探究是否存在直線l:y=kx+m與橢圓C交于D、E兩點,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,左、右焦點F1、F2分別在x軸上,離心率為 ,在其上有一動點A,A到點F1距離的最小值是1,過A、F1作一個平行四邊形,頂點A、B、C、D都在橢圓E上,如圖所示.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)判斷ABCD能否為菱形,并說明理由.
(Ⅲ)當(dāng)ABCD的面積取到最大值時,判斷ABCD的形狀,并求出其最大值.
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