Question

函數(shù)f（x）=

ax+1

x+2

（a為常數(shù)）．
（1）若a=1，證明：f（x）在（-2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若a＜0，且當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?

3

4

，3），求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=1，則f（x）=

x+1

x+2

，從而利用定義法證明．
（2）若a＜0，且當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，可證明f（x）在（-1，2）上為減函數(shù)，從而可得

2a+1

4

＜f（x）＜1-a，從而可得

2a+1 4 =- 3 4 1-a=3

，從而解得．

解答： 解：（1）證明：若a=1，則f（x）=

x+1

x+2

，
設(shè)任意x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

x1+1

x1+2

-

x2+1

x2+2

=

(x1+1)(x2+2)-(x2+1)(x1+2)

(x1+2)(x2+2)

=

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

，
因?yàn)閤₁+2＞0，x₂+2＞0，且x₁-x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)．
（2）若a＜0，且當(dāng)x∈（-1，2）時(shí)，
同理可證明f（x）在（-1，2）上為減函數(shù)，
所以f（2）＜f（x）＜f（-1），
即

2a+1

4

＜f（x）＜1-a．
因?yàn)楫?dāng)x∈（-1，2）時(shí)，f（x）的值域?yàn)椋?

3

4

，3），
所以

2a+1 4 =- 3 4 1-a=3

解得a=-2．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的化簡與判斷的應(yīng)用，同時(shí)考查了參數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．