Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=AD，F(xiàn)為PD的中點．
（1）求證：AF⊥平面PDC；
（2）求直線AC與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥AF，

∵PA=AD，F(xiàn)P=FD

∴AF⊥PD

又∵CD∩PD=D

∴AF⊥平面PDC

（2）解：連接CF

由（1）可知CF是AF在平面PCD內(nèi)的射影

∴∠ACF是AF與平面PCD所成的角

∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC

在△ACF中，

∴

AF與平面PCD所成的角為30°

【解析】（1）由已知先證明CD⊥平面PAD，可得：CD⊥AF，結(jié)合AF⊥PD，可得AF⊥平面PDC；（2）連接CF，由（1）可知CF是AF在平面PCD內(nèi)的射影，故∠ACF是AF與平面PCD所成的角，解得答案．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．