【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，的極大值為，無極小值；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，進而確定單調(diào)區(qū)間和極值；（2）先分離變量，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值，再利用導(dǎo)數(shù)求對應(yīng)函數(shù)最值，即得結(jié)果，（3）利用（2）得，即得，再利用放縮以及裂項相消法求和，即得結(jié)果.

解：（1）∵，其定義域為，

∴，

令，得，

令，得.

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

的極大值為，無極小值.

（2）∵，，

∴，令，

則，

令，解得.

當在內(nèi)變化時，，的變化情況如下表：

+

0

-

由表知，當時，函數(shù)有最大值，且最大值為，∴，

∴實數(shù)的取值范圍為.

（3）由（2）知，，

∴，

∴.

∵

，

∴，

即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為調(diào)查某校學(xué)生每周課外閱讀的情況，采用分層抽樣的方法，收集100位學(xué)生每周課外閱讀時間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時）.根據(jù)這100個數(shù)據(jù)，制作出學(xué)生每周課外閱讀時間的頻率分布直方圖（如圖）.

（1）估計這100名學(xué)生每周課外閱讀的平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）由頻率分布直方圖知，該校學(xué)生每周課外閱讀時間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

①求；

②若該校共有10000名學(xué)生，記每周課外閱讀時間在區(qū)間的人數(shù)為，試求.

參數(shù)數(shù)據(jù)：，若，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（題文）（題文）已知橢圓的左右頂點分別為，，右焦點的坐標為，點坐標為，且直線軸，過點作直線與橢圓交于，兩點（，在第一象限且點在點的上方），直線與交于點，連接.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，問：的斜率乘積是否為定值，若是求出該定值，若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】物價監(jiān)督部門為調(diào)研某公司新開發(fā)上市的一種產(chǎn)品銷售價格的合理性，對某公司的該產(chǎn)品的銷量與價格進行了統(tǒng)計分析，得到如下數(shù)據(jù)和散點圖：

定價x（元／kg）

10

20

30

40

50

60

年銷量y（kg）

1150

643

424

262

165

86

z＝21ny

14.1

12.9

12.1

11.1

10.2

8.9

（參考數(shù)據(jù)：，，

，）

（Ⅰ）根據(jù)散點圖判斷，y與x和z與x哪一對具有的線性相關(guān)性較強（給出判斷即可，不必說明理由）？

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程（方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字）．

附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓P恒過定點，且與直線相切．

（Ⅰ）求動圓P圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點C、D在軌跡M上，求正方形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓C：過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A、B兩點．設(shè)點P（4，3），記PA、PB的斜率分別為k1和k2．

（1）求橢圓C的方程；

（2）如果直線l的斜率等于-1，求出k1k2的值；

（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中,已知，M是BC的中點.

(1)若,求向量與向量的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上任意一點,且，求的最小值；

(3)若點P是邊BC上的一點,且，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程(本題滿分10分)

在平面直角坐標系中，將曲線向左平移2個單位，再將得到的曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為．

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）已知點在第一象限，四邊形是曲線的內(nèi)接矩形，求內(nèi)接矩形周長的最大值，并求周長最大時點的坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，現(xiàn)有如下四個結(jié)論：

；平面；

三棱錐的體積為定值；異面直線所成的角為定值，

其中正確結(jié)論的序號是______．

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