Question

【題目】已知函數(shù) ，在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B，C為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）若 ，且 ，求f（x0+1）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6 + sinωx﹣3（ω＞0） =3cosωx+ sinωx
=2 sin（ωx+ ），
又由于正△ABC的高為2 ，則BC=4，
∴函數(shù)f（x）的周期T=4×2=8，即 =8，
∴ω=
∴函數(shù)的值域?yàn)閇﹣2 ，2 ]
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴ ≤ x+ ≤ + ，
≤sin（ x+ ）≤1，
3≤2 sin（ + ）≤2
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇3，2 ]
（Ⅲ）因?yàn)閒（x0）= 由（Ⅰ）有f（x0）=2 sin（ + ）= ，即sin（ + ）= ，
由x0∈（﹣ ， ）得：（ + ）∈（﹣ ， ），
所以，cos（ + ）= =
故f（x0+1）=2 sin（ + + ）=2 sin[（ + ）+ ]=2 sin[（ + ）cos +cos（ + ）sin
=2 （ × + × ）=
【解析】（Ⅰ）將f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=2 sin（ωx+ ），由正三角形△ABC的高為2 可求得BC，從而可求得其周期，繼而可得ω 及函數(shù)f（x）的值域；（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得 x+ ∈[ ， ]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)f（x）的值域；（Ⅲ）由x0∈（﹣ ， ）可求得（ + ）∈（﹣ ， ），從而可求得cos（ + ），最后利用兩角和的正弦即可求得f（x0+1）的值．
【考點(diǎn)精析】利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的余弦公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．