【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣x,g(x)=xlnx.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)﹣2g( )<(b﹣a)ln2.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞).
.令f′(x)=0,解得x=0.
當(dāng)﹣1<x<0時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)<0.又f(0)=0,
故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最大值,最大值為0.
(2)證明:
= .
由(Ⅰ)結(jié)論知ln(1+x)﹣x<0(x>﹣1,且x≠0),
由題設(shè) ,
因此ln =﹣ln(1+ )>﹣ ,
,
所以 .
又 ,
< .=(b﹣a)ln <(b﹣a)ln2
綜上
【解析】(1)先求出函數(shù)的定義域,然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算,令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值,再判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求出最大值.(2)先將a,b代入函數(shù)g(x)得到g(a)+g(b)﹣2g( )的表達(dá)式后進(jìn)行整理,根據(jù)(1)可得到lnx<x,將 、 放縮變形為 、 代入即可得到左邊不等式成立,再用 根據(jù)y=lnx的單調(diào)性進(jìn)行放縮 < .然后整理即可證明不等式右邊成立.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,我市某居民小區(qū)擬在邊長(zhǎng)為1百米的正方形地塊ABCD上劃出一個(gè)三角形地塊APQ種植草坪,兩個(gè)三角形地塊PAB與QAD種植花卉,一個(gè)三角形地塊CPQ設(shè)計(jì)成水景噴泉,四周鋪設(shè)小路供居民平時(shí)休閑散步,點(diǎn)P在邊BC上,點(diǎn)Q在邊CD上,記∠PAB=a.
(1)當(dāng)∠PAQ= 時(shí),求花卉種植面積S關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式,并求S的最小值;
(2)考慮到小區(qū)道路的整體規(guī)劃,要求PB+DQ=PQ,請(qǐng)?zhí)骄俊螾AQ是否為定值,若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l過點(diǎn)M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).求:
(1)當(dāng)|OA|十|OB|取得最小值時(shí),直線l的方程;
(2)當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值時(shí),直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)f(x)與g(x)的圖象相同的是( )
A.f(x)=x,g(x)=( )2
B.f(x)=x2 , g(x)=(x+1)2
C.f(x)=1,g(x)=x0
D.f(x)=|x|,g(x)=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[﹣1,1]時(shí),f(x)=x2 , 則y=f(x)與y=log5x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.3
B.4
C.5
D.6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知p:x2﹣6x+5≤0,q:x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0).
(1)若m=2,且p∧q為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1+x)=f(1﹣x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=2﹣x , 則f(3)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓E:(x+ )2+y2=16,點(diǎn)F( ,0),P是圓E上任意一點(diǎn).線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程;
(2)設(shè)直線l與(1)中軌跡Γ相交于A,B兩點(diǎn),直線AO,l,OB的斜率分別為k1 , k,k2(其中k>0),若k1 , k,k2恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解小學(xué)生的體能情況,抽取了某校一個(gè)年級(jí)的部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫頻率分布直方圖.已知圖中橫軸從左向右的分組為[50,75)、[75,100)、[100,125)、[125,150],縱軸前3個(gè)對(duì)應(yīng)值分別為0.004、0.01、0.02,因失誤第4個(gè)對(duì)應(yīng)值丟失.
(Ⅰ) 已知第1小組頻數(shù)為10,求參加這次測(cè)試的人數(shù)?
(Ⅱ) 求第4小組在y軸上的對(duì)應(yīng)值;
(Ⅲ) 若次數(shù)在75次以上 ( 含75次 ) 為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該年級(jí)跳繩測(cè)試達(dá)標(biāo)率是多少?
(Ⅳ) 試估計(jì)這些數(shù)據(jù)的中位數(shù).
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