【題目】如圖,已知圓E:(x+ )2+y2=16,點(diǎn)F( ,0),P是圓E上任意一點(diǎn).線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程;
(2)設(shè)直線l與(1)中軌跡Γ相交于A,B兩點(diǎn),直線AO,l,OB的斜率分別為k1 , k,k2(其中k>0),若k1 , k,k2恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列,求k的值.
【答案】
(1)解:連結(jié)QF,根據(jù)題意,|QP|=|QF|,
則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ,
故動點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E,F(xiàn)為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.
設(shè)其方程為 ,可知a=2, ,則b=1,
所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為
(2)解:設(shè)直線l的方程為:y=kx+m(其中k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),
將直線l的方程代入橢圓方程,消去y整理得:
(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ,且△=16(1+4k2﹣m2)>0,
∵k1,k,k2恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列,
∴k2=k1k2= ,
即k2 =k2 +km(﹣ )+m2,
整理得:m2﹣4k2m2=0,
∵m≠0,
∴k= 或k=﹣ (舍)
【解析】(1)通過線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q,利用橢圓的定義求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程;(2)通過設(shè)直線l的方程為:y=kx+m(其中k>0),A(x1 , y1),B(x2 , y2),聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理可知x1+x2=﹣ ,x1x2= ,△=16(1+4k2﹣m2)>0,利用k2=k1k2代入化簡計(jì)算即得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sin(x+ )圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移 個單位,那么所得圖象的一條對稱軸方程為( )
A.x=﹣
B.x=﹣
C.x=
D.x=
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣x,g(x)=xlnx.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)﹣2g( )<(b﹣a)ln2.
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【題目】定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)= ,其中h(x)是指數(shù)函數(shù),且h(2)=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求不等式f(2x﹣1)>f(x+1)的解集.
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【題目】如圖,一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形,則原平面圖形的面積為( )
A. a2
B.a2
C.2 a2
D.2a2
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ex﹣ (x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.(﹣ , )
B.(﹣ , )
C.(﹣∞, )
D.(﹣∞, )
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【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1= ,D為AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,CO⊥側(cè)面ABB1A1 .
(1)證明:BC⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值.
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【題目】已知f(x)=xex﹣ax2﹣x,a∈R.
(1)當(dāng)a= 時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對x≥1時,恒有f(x)≥xex+ax2成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù)).
(1)當(dāng)a=﹣4時,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值及相應(yīng)的x值;
(2)當(dāng)x∈[1,e]時,討論方程f(x)=0根的個數(shù).
(3)若a>0,且對任意的x1 , x2∈[1,e],都有 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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