如圖，在四棱柱中，底面ABCD和側(cè)面都是矩形，E是CD的中點，，
.
（1）求證：；
（2）若平面與平面所成的銳二面角的大小為，求線段的長度.
（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，由已知得，，所以利用線面平行的判定得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)，得；第二問，可以利用傳統(tǒng)幾何法求二面角的平面角，也可以利用向量法求平面和平面的法向量，利用夾角公式列出方程，通過解方程，求出線段的長度..
（1）證明：∵底面和側(cè)面是矩形，
∴，
又∵
∴平面   3分
∵平面∴ ．        6分
（2）

解法1：延長，交于，連結(jié)，
則平面平面
底面是矩形，是 的中點，，∴連結(jié)，則
又由（1）可知
又∵，
∴底面，∴∴平面             9
過作于，連結(jié)，則是平面與平面即平面與平面所成銳二面角的平面角，所以
又，∴
又易得，，從而由，求得．                   12分
解法2：由（1）可知
又∵，∴底面                                7分
設(shè)為的中點，以為原點，以，，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系如圖．                                        8分

設(shè)，則，，，， 
設(shè)平面的一個法向量
∵，
由，得
令，得                                                           9分
設(shè)平面法向量為，因為 ，，
由 得令，得．                  10分
由平面與平面所成的銳二面角的大小為，
得 ，解得． 即線段的長度為．  12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A1BD的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點，點在線段上且．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正方體中，，為的中點，為的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）設(shè)為正方體棱上一點，給出滿足條件的點的個數(shù)，并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P －ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E 為側(cè)棱PD的中點。
（1）證明：PB//平面EAC；
（2）若AD="2AB=2," 求直線PB與平面ABCD所成角的正切值；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.
(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.
(3)設(shè)二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，．
（1）證明：平面平面；
（2 ）若點為的中點，求出二面角的余弦值．

（1）證明：平面平面；
（2）若點為的中點，求出二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知是三條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（    ）
A．若，，，，則
B．若，∥，，則
C．若∥，，則∥
D．若，，，則∥

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

[2013·鄭州模擬]設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．
①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.
可以填入的條件有(　　)
A．①或②B．②或③
C．①或③D．①或②或③

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案