如圖所示,PA⊥平面ABC,點C在以AB為直徑的⊙O上,∠CBA=30°,PA=AB=2,點E為線段PB的中點,點M在弧AB上,且OM∥AC.

(1)求證:平面MOE∥平面PAC.
(2)求證:平面PAC⊥平面PCB.
(3)設(shè)二面角M—BP—C的大小為θ,求cos θ的值.
(1)見解析  (2)見解析  (3)
(1)因為點E為線段PB的中點,點O為線段AB的中點,所以O(shè)E∥PA.
因為PA?平面PAC,OE?平面PAC,
所以O(shè)E∥平面PAC.
因為OM∥AC,
因為AC?平面PAC,OM?平面PAC,
所以O(shè)M∥平面PAC.
因為OE?平面MOE,OM?平面MOE,OE∩OM=O,
所以平面MOE∥平面PAC.
(2)因為點C在以AB為直徑的⊙O上,
所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.
因為PA⊥平面BAC,BC?平面ABC,
所以PA⊥BC.
因為AC?平面PAC,PA?平面PAC,PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
因為BC?平面PCB,
所以平面PAC⊥平面PCB.
(3)如圖,以C為原點,CA所在的直線為x軸,CB所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz.

因為∠CBA=30°,PA=AB=2,
所以CB=2cos 30°=,AC=1.
延長MO交CB于點D.
因為OM∥AC,
所以MD⊥CB,MD=1+
CD=CB=.
所以P(1,0,2),C(0,0,0),B(0,,0),M.
所以=(1,0,2),=(0,,0).
設(shè)平面PCB的法向量m=(x,y,z).
因為
所以,即
令z=1,則x=-2,y=0.
所以m=(-2,0,1).
同理可求平面PMB的一個法向量n=(1,,1).
所以cos〈m,n〉==-.
因為二面角M—BP—C為銳二面角,所以cos θ=.
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.
(1)求證:;
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A.0
B.1
C.2
D.3

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