Question

如圖，在正方體中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面；
（3）設(shè)為正方體棱上一點(diǎn)，給出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）在正方體棱上使得的點(diǎn)有12個(gè).

試題分析：（1）求證：平面平面，證明兩平面垂直，只需證明一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，注意到本題是一個(gè)正方體，因此可證平面即可；（2）求證：平面，證明線面平行，即證線線平行，即在平面內(nèi)找一條直線與平行，注意到為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可連接，，設(shè)，連接，證明即可，即證四邊形是平行四邊形即可；（3）設(shè)為正方體棱上一點(diǎn)，給出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由（2）可知，，且，故點(diǎn)符合，有正方體的特征，可知，，故是點(diǎn)到的最短距離，故這樣的點(diǎn)就一個(gè)，同理在其他棱上各有一個(gè)，故可求出滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（1）在正方體中，
因?yàn)?平面，平面，
所以平面平面.                                   4分
（2）證明：連接，，設(shè)，連接.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051105225751.png" style="vertical-align:middle;" />為正方體，
所以 ，且，且是的中點(diǎn)，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051106457292.png" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，
所以 ，且，
所以 ，且，
即四邊形是平行四邊形，
所以，                                                 6分
又因?yàn)?平面，平面，
所以 平面.                                         9分

（3）滿足條件的點(diǎn)P有12個(gè).                            12分
理由如下：
因?yàn)?為正方體，，
所以 .
所以 .                                      13分
在正方體中，
因?yàn)?平面，平面，
所以 ，又因?yàn)?，所以 ， 
則點(diǎn)到棱的距離為，
所以在棱上有且只有一個(gè)點(diǎn)（即中點(diǎn)）到點(diǎn)的距離等于，
同理，正方體每條棱的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離都等于，
所以在正方體棱上使得的點(diǎn)有12個(gè).     14分