已知函數(shù)
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設點是曲線上的不同兩點.如果在曲線上存在點,使得:①;②曲線在點處的切線平行于直線,則稱函數(shù)存在“中值相依切線”,試問:函數(shù)是否存在“中值相依切線”,請說明理由.
(1)當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為;當,的單調(diào)遞增區(qū)間為和;(2)函數(shù)不存在“中值相依切線”.
解析試題分析:(1)當時,分和兩種情況分別進行分析,當時, , 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時, ,令,解得或;所以當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增;(2)先設是曲線上的不同兩點,求出的表達式化簡得到:,再經(jīng)過求導分析得出函數(shù)不存在“中值相依切線”.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域是. 由已知得,
當時, , 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當時, ,令,解得或;
函數(shù)在和上單調(diào)遞增,
綜上所述:①當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
②當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增;
(2)假設函數(shù)存在“中值相依切線”
設是曲線上的不同兩點,且,
則,.
曲線在點處的切線斜率
依題意得:
化簡可得: , 即=
設 (),上式化為:,
. 令,
.
因為,顯然,所以
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已知函數(shù)
(1)當時,求的最小值;
(2)在區(qū)間(1,2)內(nèi)任取兩個實數(shù)p,q,且p≠q,若不等式>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:(其中)。
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已知函數(shù);
(1)若>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求的值;
(3)若f(x)<x2在(1,上恒成立,求a的取值范圍.
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某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率).
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域;
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.
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已知函數(shù),,圖象與軸異于原點的交點M處的切線為,與軸的交點N處的切線為, 并且與平行.
(1)求的值;
(2)已知實數(shù)t∈R,求的取值范圍及函數(shù)的最小值;
(3)令,給定,對于兩個大于1的正數(shù),存在實數(shù)滿足:,,并且使得不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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已知函數(shù)f(x)=.
(1)確定y=f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若a>0,函數(shù)h(x)=xf(x)-x-ax2在(0,2)上有極值,求實數(shù)a的取值范圍.
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已知函數(shù)f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=-aln x++x(a≠0),
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x-2y=0垂直,求實數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
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