Question

已知f（x）=tanx+log₂

1+x

1-x

+1．
（Ⅰ）求f（

1

2

）+f（-

1

2

）的值；
（Ⅱ）若f（sinθ）＞f（cosθ），θ為銳角，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）容易求得f（-x）+f（x）=2，所以f(

1

2

)+f(-

1

2

)=2；
（Ⅱ）求f′（x），能夠判斷f′（x）＞0，所以得出f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，因為θ為銳角，所以由f（sinθ）＞f（cosθ）得到

sinθ＞cosθ 0＜θ＜ π 2

，解該不等式即得θ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（-x）+f（x）=tan（-x）+tanx+log2

1-x

1+x

+log2

1+x

1-x

+2=2；
∴f（

1

2

）+f(-

1

2

)=2；
（Ⅱ）解

1+x

1-x

＞0得，-1＜x＜1；
f′（x）=

1

cos2x

+

2

(1-x)(1+x)ln2

＞0；
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)；
∴由f（sinθ）＞f（cosθ），θ為銳角得：

sinθ＞cosθ 0＜θ＜ π 2

；
∴

π

4

＜θ＜

π

2

；
∴θ的取值范圍為（

π

4

，

π

2

）．

點評：考查tan（-x）=-tanx，對數(shù)的運算法則，以及（tanx）′，復(fù)合函數(shù)的求導，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，正弦線和余弦線的應(yīng)用．