Question

【題目】已知定義域為的函數存在兩個零點.

（1）求實數的取值范圍；

（2）若，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）分離參數得，借助函數的圖象進行求解；（2）由于，則在區(qū)間上單調遞增， ，故只需證明即可。由題知且，不妨設，則，構造，只需證明即可，利用導數的知識可求解。

試題解析：

（1）由.得。

令，則，

當變化時， 及的變化情況如下表：

	-	0	+
	減	最小	增

由表可知，當時， 有極小值，也為最小值，且最小值為，

當時， ； 時， ，

∴

故在區(qū)間上存在兩個零點時， 的取值范圍為.

（2）∵， ∴ ，

又，

∴ ，

令，

則，

由題知且，不妨設，則，

∴時， ，

∴在單調遞減，

∴時， ，

∴，

又，

∴ ，即，

∴，

∵在區(qū)間上單調遞增，

∴，得證.