如圖,在三棱錐P-ABC中,PB⊥面ABC,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別是AC,AB,BC的中點(diǎn).
(1)求證:EF⊥PD;
(2)求直線PF與平面PBD所成的角的大小;
(3)求二面角E-PF-B的大。
(1)證明:連接BD
在△ABC中,∠ABC=90°
∵AB=BC,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴BD⊥AC
∵PB⊥平面ABC,∴BD為PD在平面ABC內(nèi)的射影
∴PD⊥AC
∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),∴EFAC
∴EF⊥PD;
(2)∵PB⊥平面ABC,∴PB⊥EF.
連接BD交EF于點(diǎn)O,∵EF⊥PB,EF⊥PD,∴EF⊥平面PBD,
∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角,EF⊥PO.
∵PB⊥面ABC,∴PB⊥AB,PB⊥BC,又∵∠PAB=45°,
∴PB=AB=2.
在Rt△FPO中,OF=
1
4
AC
=
2
2
,PF=
PB2+BF2
=
5

∴sin∠FPO=
OF
PF
=
10
10

∴直線PF與平面PBD所成的角為arcsin
10
10
;
(3)過點(diǎn)B作BM⊥PF于點(diǎn)F,連接EM,
∵AB⊥PB,AB⊥BC,
∴AB⊥平面PBC,即BM為EM在平面PBC內(nèi)的射影,
∴EM⊥PF,
∴∠EMB為二面角E-PF-B的平面角.
∵Rt△PBF中,BM=
PB•BF
PF
=
2
5

∴tan∠EMB=
EB
BM
=
5
2

∴二面角E-PF-B的大小為arctan
5
2
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,則AC1與平面ABB1A1所成角的大小為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,平面α上定點(diǎn)F到定直線l的距離FA=2,曲線C是平面α上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的動點(diǎn)P的軌跡.設(shè)FB⊥α,且FB=2.
(1)若曲線C上存在點(diǎn)P0,使得P0B⊥AB,試求直線P0B與平面α所成角θ的大;
(2)對(1)中P0,求點(diǎn)F到平面ABP0的距離h.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,則二面角O1-BC-D的大小為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2
3

(1)求點(diǎn)A到平面MBC的距離;
(2)求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,正方體AC1
(1)在BD上確定一點(diǎn)E,使D1E面A1C1B;
(2)求直線BB1和面A1C1B所成角的正弦值;
(3)求面A1C1B與底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的每條棱長均為a,M為棱A1C1上的動點(diǎn).
(1)當(dāng)M在何處時(shí),BC1平面MB1A,并證明之;
(2)在(1)下,求平面MB1A與平面ABC所成的二面角的大;
(3)求B-AB1M體積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

A、B是直二面角α-l-β的棱l上的兩點(diǎn),分別在α,β內(nèi)作垂直于棱l的線段AC,BD,已知AB=AC=BD=1,那么CD的長為( 。
A.1B.2C.
2
D.
3

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同步練習(xí)冊答案