Question

【題目】（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）如果對(duì)所有的≥0，都有≤，求的最小值；

（Ⅲ）已知數(shù)列中， ，且，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：

.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】試題（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論，即可得的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)的取值范圍進(jìn)行討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得的最小值；（Ⅲ）先由已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和，再把轉(zhuǎn)化為，由（Ⅱ）可得， ，令，可得，進(jìn)而可證，即可證．

試題解析：（Ⅰ） 的定義域?yàn)?/span>， 1分

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 2分

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 3分

（Ⅱ）設(shè)，則

因?yàn)?/span>≥0，故5分

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ，所以在單調(diào)遞減，而，所以對(duì)所有的≥0， ≤0，即≤；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)， ，若，則， 單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)， ，即；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)， ， ，所以在單調(diào)遞增，而，所以對(duì)所有的， ，即；

綜上， 的最小值為2. 8分

（Ⅲ）由得， ，由得， ，

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

故， ， 9分

由（Ⅱ）知時(shí)， ， ，

即， . 10分

法一：令，得，

即

因?yàn)?/span>11分

所以12分

故12分

法二：

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)時(shí)，令代入，即得，不等式成立

（2）假設(shè)時(shí)，不等式成立，即

則時(shí)，

令代入，得

即

由（1）（2）可知不等式對(duì)任何 都成立.

故12分