Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折起，使平面平面，連接，，，得到如圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面；

（2）若，且與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）

【解析】

（1）證明平面內(nèi)的相交直線，即可證明線面垂直；

（2）根據(jù)與平面所成角的正切值為，設(shè)，求出的值，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夾角公式，即可得答案.

（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

又，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

又因?yàn)檎郫B前后均有，，

所以平面.

（2）由（1）知平面，所以與平面所成角為

且.依題意.

因?yàn)?/span>，所以.

設(shè)，則.

依題意，所以，即.

解得，故，，.

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，.

由（1）知平面的法向量

設(shè)平面的法向量

由得，

令，得，，所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.