【題目】已知點,點在軸上,點在軸的正半軸上,點在直線上,且滿足
(Ⅰ)當點在軸上移動時,求點的軌跡的方程;
(Ⅱ)過點做直線與軌跡交于兩點,若在軸上存在一點,使得是以點為直角頂點的直角三角形,求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(Ⅰ)本問考查求軌跡方程,設動點,由于點在軸上,點在軸的正半軸上,于是可以根據(jù)條件表示出,再根據(jù),坐標表示后整理可求出N點的軌跡方程,注意曲線上點坐標的取值范圍;(Ⅱ)本問考查直線與拋物線位置關系,由題分析,直線的斜率顯然存在且不為0,于是可設方程為,與曲線C的方程聯(lián)立,消去未知數(shù)x,得到關于y的一元二次方程,設,于是得出, ,根據(jù)弦長公式求出,若在軸上存在一點,使得是以為直角頂點的直角三角形,則點到軸的距離不大于,轉化為關于的不等式,可以求出取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)設點,由,得,
由得,所以
又因為點在軸的正半軸上,所以,所以
(Ⅱ)設直線
得直線的方程代入,得,①
又是方程①的兩個不相等的實根,
由,解得 ②
線段的中點的坐標為
在軸上存在一點,使得是以為直角頂點的直角三角形,
點到軸的距離不大于,即
化簡,得,解得
結合②得直線的斜率的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某電子商務平臺的調查統(tǒng)計顯示,參與調查的1000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖.
(1)已知、,三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求,的值;
(2)該電子商務平臺將年齡在之間的人群定義為高消費人群,其他的年齡段定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放80元的代金券,已經(jīng)采用分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網(wǎng)購物者中抽取了10人,現(xiàn)在要在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求此三人獲得代金券總和的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 , ,函數(shù)的圖象過點,點與其相鄰的最高點的距離為.
(1)求的單調遞增區(qū)間;
(2)計算;
(3)設函數(shù),試討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設,函數(shù),(為自然對數(shù)的底數(shù)),且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調性;
(Ⅲ)證明:當時,在區(qū)間內恒成立.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系中,已知曲線,以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線.
(1)將曲線上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程:
(2)在曲線上求一點,使點到直線的距離最大,并求出此最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在公差不為零的等差數(shù)列中,已知,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設數(shù)列的前項和為,記,求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班50名學生在一次百米測試中,成績全部介于13秒與18秒之間,將測試結果按如下方式分成五組:第一組,第二組,…,第五組,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這50名學生百米測試成績的平均值;
(2)若從第一組、第五組中隨機取出兩個成績,求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓和拋物線交于兩點,且直線恰好通過橢圓的右焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)經(jīng)過橢圓右焦點的直線和橢圓交于兩點,點在橢圓上,且,
其中為坐標原點,求直線的斜率.
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