Question

已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A為銳角．
(1)求角A的大��；
(2)求函數(shù)f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．

Answer 1

(1)A＝.(2)函數(shù)f(x)的值域是.

解析試題分析：(1)由題意得m·n＝sinA－cosA＝1，
2sin＝1，sin＝，
由A為銳角得，A－＝，∴A＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin²x＋2sinx
＝－2²＋.
因?yàn)閤∈R，所以sinx∈[－1,1]，
因此，當(dāng)sinx＝時(shí)，f(x)有最大值，
當(dāng)sinx＝－1時(shí)，f(x)有最小值－3，
所以所求函數(shù)f(x)的值域是.
考點(diǎn)：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，和差倍半的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題較為典型，即首先通過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得到三角函數(shù)式，利用和差倍半的三角函數(shù)公式，將三角函數(shù)式“化一”，進(jìn)一步研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)。本題利用換元思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問(wèn)題，使問(wèn)題更具綜合性。