如圖，在直三棱柱中，，．若為的中點，求直線與平面所成的角.

60°

解析試題分析：因為在直三棱柱中，，．若為的中點，需求直線與平面所成的角.可以建立直角坐標系，通過平面的法向量與直線所在的向量的夾角的余弦值即為直線與平面所成角的正弦值.即可得結(jié)論.另外也可以通過構(gòu)建直線所成的角，通過解三角形求得結(jié)論.
試題解析：方法一：如圖1以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
所在直線為軸建系，則，則            2分；

設(shè)平面A1BC1的一個法向量，則，
則，取，則                   6分
設(shè)AD與平面A1BC1所成的角為，

則=                               10分
則,∴AD與平面A1BC1所成的角為             12分
方法二：由題意知四邊形AA1B1B是正方形，故AB1⊥BA1．
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1．
又A1C1⊥A1B1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，故A1C1⊥AB1．
從而得 AB1⊥平面A1BC1．                                                4分
設(shè)AB1與A1B相交于點O，則點O是線段AB1的中點．
連接AC1，由題意知△AB1C1是正三角形．
由AD，C1O是△AB1C1的中線知：AD與C1O的交點為重心G，連接OG．
知AB1⊥平面A1BC1，故OG是AD在平面A1BC1上的射影，
于是∠AGO是AD與平面A1BC1所成的角．                                      6分
在直角△AOG中，AG＝AD＝AB1＝AB， AO＝AB，
所以sin∠AGO＝＝．                                           10分
故∠AGO＝60°，即AD與平面A1BC1所成的角為60°．&

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC，BC=2AD，AC，Q是線段PB的中點.

（1）求證：平面PAC；
（2）求證：AQ//平面PCD.

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如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，分別為，中點，．
（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．

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如圖，四邊形ABCD是菱形，四邊形MADN是矩形，平面MADN平面ABCD，E，F(xiàn)分別為MA，DC的中點，求證：

(1)EF//平面MNCB；
(2)平面MAC平面BND．

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如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，,平面底面，是的中點．
 
(1)求證：//平面；
(2)求證：；
(3)求與平面所成角的正弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

四棱錐底面是菱形，，,分別是的中點.

（1）求證:平面⊥平面；
（2）是上的動點，與平面所成的最大角為，求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD與四邊形都為正方形，，F(xiàn)
為線段的中點，E為線段BC上的動點.

（1）當E為線段BC中點時，求證：平面AEF；
（2）求證：平面AEF平面；
（3）設(shè)，寫出為何值時MF⊥平面AEF(結(jié)論不要求證明).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，于（不同于點），延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐，如圖2所示.

（1）若M是FC的中點，求證：直線//平面；
（2）求證：BD⊥；
（3）若平面平面，試判斷直線與直線CD能否垂直？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.

(1)求棱AA1與BC所成的角的大�。�
(2)在棱B1C1上確定一點P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值為.

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