Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，、分別為棱、的中點(diǎn)，.

（1）證明：平面平面；

（2）若二面角的大小為45°，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明，得到答案.

（2）以與垂直的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，面的法向量記為，面的法向量為，根據(jù)夾角得到，平面的法向量，計(jì)算得到答案.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，，，

所以四邊形為平行四邊形，即.

因?yàn)?/span>、分別為棱、的中點(diǎn)，.

，所以平面平面.

（2）如圖所示

因?yàn)?/span>，，與為相交直線，所以平面，不妨設(shè)，則.

以與垂直的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，

從而，，

面的法向量記為，則，可得，

令，則，，

又面的法向量為，二面角的大小為45°.

，解得，所以，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，則，可得：.

令，則，.所以.

設(shè)直線與平面所成角為，則.