Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)滿(mǎn)足，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求得結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，先求得的范圍，再利用進(jìn)行適度放縮，即可由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，容易證明.

（1）由已知，可知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)，

，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，得，

時(shí)，，為增函數(shù)，

時(shí)，，為減函數(shù).

且此時(shí)當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮；當(dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮.

故要滿(mǎn)足題意，只需：，

，

實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（2）證明：，

，

由的兩根為，故可得，，，

又，

，

解得，

，

設(shè)，

則，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，

，

，

，

令，則，

在時(shí)單調(diào)遞減，

，

成立.