【題目】在如圖所示的四棱錐中,四邊形為平行四邊形,為邊長為2的等邊三角形,,點分別為,的中點,是異面直線的公垂線.

1)證明:平面平面;

2)記的重心為,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】1)詳見解析;(2

【解析】

1的中點,利用等邊三角形的性質(zhì)可得,根據(jù)是異面直線的公垂線,可得.可得平面.進而得出:平面平面

2)根據(jù)為中點,可得,又是異面直線的公垂線,可得,可得:平面.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的一個法向量為,可得,由,的坐標(biāo)可得的重心.設(shè)直線與平面所成角為,則,

解:(1)證明:因為的中點,所以在等邊中,

又因為是異面直線的公垂線,所以

又因為,平面,所以平面

因為平面,所以平面平面

2)因為為中點,所以,又因為是異面直線的公垂線,

所以,所以為等腰直角三角形

連接,

因為,平面,平面平面且平面平面

所以平面

因此,以為原點,分別以、、所在的直線為、、軸建系如圖所示:

,,,

因為四邊形為平行四邊形,設(shè)

因為,所以

所以

設(shè)面的一個法向量為

,

,則,,所以

因為,,

所以的重心為的坐標(biāo)為,

設(shè)直線與平面所成角為,則

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