【題目】已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求面積的最大值.

【答案】解:()因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為,

所以……………1

又橢圓的離心率為,即,所以, ………………2

所以. ………………4

所以,橢圓的方程為. ………………5

)方法一:不妨設(shè)的方程,則的方程為.

, ………………6

設(shè),,因?yàn)?/span>,所以…………7

同理可得, ………………8

所以, ………………10

………………12

設(shè),則………………13

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以面積的最大值為. ………………14

方法二:不妨設(shè)直線的方程.

消去………………6

設(shè),,

則有,. ① ………………7

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)點(diǎn),所以.

,

. ………………8

代入上式,

.

代入上式,解得(舍). ………………10

所以(此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn),與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)),

所以

. ……………12

設(shè),

.

所以當(dāng)時(shí),取得最大值. ……………14

【解析】

(1)由題意可知2a+2ce的值,所以可以求出a,b,c進(jìn)而確定橢圓方程.

2)以AB為直徑的圓過(guò)右頂點(diǎn)C,實(shí)質(zhì)是,然后用坐標(biāo)表示出來(lái),再通過(guò)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理和判斷式把△ABC面積表示成關(guān)于k的函數(shù),然后利用函數(shù)的方法求最值.

)因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為, 又橢圓的離心率為,即,所以,

. ………… 3,橢圓的方程為.……4

)由直線的方程.聯(lián)立消去,………… 5

設(shè),則有,. ① ……… 6

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過(guò)點(diǎn),所以.,得.…………… 7

代入上式,得.

代入上式,解得(舍). ……… 8

所以,記直線軸交點(diǎn)為,則點(diǎn)坐標(biāo)為,

所以

設(shè),則.

所以當(dāng)時(shí),取得最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖所示,在四邊形中,,.將四邊形沿對(duì)角線折成四面體,使平面平面,則下列結(jié)論中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是(

;②;

與平面所成的角為;

④四面體的體積為.

A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)

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(1)若要調(diào)查該公司使用微信的員工經(jīng)常使用微信與年齡的關(guān)系,列出列聯(lián)表

青年人

中年人

總計(jì)

經(jīng)常使用微信

不經(jīng)常使用微信

總計(jì)

(2)由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷,是否有百分之的把握認(rèn)為“經(jīng)常使用微信與年齡有關(guān)”?

0.010

0.001

6.635

10.828

附:

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喜歡盲擰

不喜歡盲擰

總計(jì)

23

30

11

總計(jì)

50

表(1)

并邀請(qǐng)其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表(2)所示.

成功完成時(shí)間(分鐘)

人數(shù)

10

4

4

2

表(2)

(Ⅰ)將表(1)補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?

(Ⅱ)現(xiàn)從表(2)中成功完成時(shí)間在這兩組內(nèi)的6名男生中任意抽取2人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄,求2人成功完成時(shí)間恰好在同一組內(nèi)的概率.

附參考公式及參考數(shù)據(jù):,其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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