【題目】(本小題滿分12分)
如圖,四棱錐的底面為菱形,平面,,
分別為的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面平面.
(Ⅱ)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】.證明:(Ⅰ)∵四邊形是菱形,
∴.
在中,,,
∴.
∴,即.
又, ∴.…………………2分
∵平面,平面,
∴ .又∵,
∴平面,………………………………………4分
又∵平面,
平面平面. ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知平面,而平面,
∴平面平面………………………6分
∵平面,∴.
由(Ⅰ)知,又
∴平面,又平面,
∴平面平面.…………………………8分
∴平面是平面與平面的公垂面.
所以,就是平面與平面所成的銳二面角的平面角.……9分
在中,,即.……………10分
又,
∴.
所以,平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.…………12分
理(Ⅱ)解法二:以為原點(diǎn),、分別為軸、軸的正方向,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
因?yàn)?/span>,,∴、、、6分
則,,.………7分
由(Ⅰ)知平面,
故平面的一個(gè)法向量為.……………………8分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,即,令,
則. …………………10分
∴.
所以,平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.……………12分
【解析】
試題分析:(Ⅰ)∵四邊形是菱形,
∴.
在中,,,
∴.
∴,即.
又, ∴.…………………2分
∵平面,平面,
∴ .又∵,
∴平面,………………………………………4分
又∵平面,
平面平面. ………………………………6分
(Ⅱ)解法一:由(1)知平面,而平面,
∴平面平面………………………7分
∵平面,∴.
由(Ⅰ)知,又
∴平面,又平面,
∴平面平面.…………………………9分
∴平面是平面與平面的公垂面.
所以,就是平面與平面所成的銳二面角的平面角.……10分
在中,,即.……………11分
又,
∴.
所以,平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.…………14分
理(Ⅱ)解法二:以為原點(diǎn),、分別為軸、軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.因?yàn)?/span>,,所以,
、、、,…………7分
則,,.………8分
由(Ⅰ)知平面,
故平面的一個(gè)法向量為.……………………9分
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,即,令,
則. …………………11分
∴.
所以,平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.……14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1(底面是正方形,側(cè)棱垂直于底面)的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,AB=1,AA1′=2,則球O的半徑R=;若E,F(xiàn)是棱AA1和DD1的中點(diǎn),則直線EF被球O截得的線段長為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(題文)已知函數(shù).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;若存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高考數(shù)學(xué)試題中共有10道選擇題,每道選擇題都有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)是正確的.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:“每題只選1項(xiàng),答對(duì)得5分,不答或答錯(cuò)得0分.”某考生每道題都給出了一個(gè)答案,已確定有6道題的答案是正確的,而其余題中,有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,有一道題可以判斷一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,還有一道題因不理解題意只能亂猜,試求出該考生:
(1)得50分的概率;
(2)得多少分的可能性最大;
(3)所得分?jǐn)?shù)ξ的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列說法:
①集合與集合是相等集合;
②不存在實(shí)數(shù),使為奇函數(shù);
③若,且f(1)=2,則;
④對(duì)于函數(shù) 在同一直角坐標(biāo)系中,若,則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;
⑤對(duì)于函數(shù) 在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;其中正確說法是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:在△ABC中,若AB<BC,則sinC<sinA;命題q:已知a∈R,則“a>1”是“ <1”的必要不充分條件.在命題p∧q,p∨q,(¬p)∨q,(¬p)∧q中,真命題個(gè)數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式的解集為.
(1)求a,b的值.
(2)當(dāng)時(shí),解關(guān)于x的不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】凸四邊形PABQ中,其中A,B為定點(diǎn),AB= ,P,Q為動(dòng)點(diǎn),滿足AP=PQ=QB=1.
(1)寫出cosA與cosQ的關(guān)系式;
(2)設(shè)△APB和△PQB的面積分別為S和T,求S2+T2的最大值,以及此時(shí)凸四邊形PABQ的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)定義域?yàn)?/span>,
(1)求的取值范圍;
(2)若函數(shù)在上的最大值與最小值之積為,求實(shí)數(shù)的值.
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