【題目】已知.
(1)若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若有兩個極值點(diǎn),,,證明:(i);(ii).
【答案】(1)a≤6(2)見解析
【解析】
(1)f’(x)=4ex+2e-2x-a,轉(zhuǎn)化為≥0求解,構(gòu)造g(x)=4ex+2e-2x-a,求導(dǎo)求g(x)的最小值即可;(2)(。┯桑1)設(shè)g(x)的兩個零點(diǎn)為,,<0<,且a>6.令h(x)=g(x)-g(-x),證明h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時,h(x)<h(0)=0,進(jìn)而證明g()-g(-)<0,從而g()<g(-),,得+>0;(ⅱ)證明f(x)+f(-x)=-(ex+e-x-2)2+6≤6.可得f()<f(-),所以<6.
(1)f’(x)=4ex+2e-2x-a,
令g(x)=4ex+2e-2x-a,則g’(x)=4ex-4e-2x,
顯然g’(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,且g(0)=0,
所以當(dāng)x∈(-∞,0)時,g’(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(0,+∞)時,g’(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.
所以g(x)的最小值為g(0)=6-a,即f’(x)的最小值為6-a,
要使f(x)為單調(diào)增函數(shù),則有f’(x)≥0,
所以6-a≥0,故a≤6.
(2)證明:
(。┯桑1)得g(x)的兩個零點(diǎn)為,,<0<,且a>6.
f(x)在(-∞,)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在(,)上單調(diào)遞減.
令h(x)=g(x)-g(-x),
則h’(x)=g’(x)+g’(-x)
=4ex-4e-2x+4e-x-4e2x
=4[-(ex+e-x)2+(ex+e-x)+2]
=4[2-(ex+e-x
所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時,h(x)<h(0)=0.
所以g()-g(-)<0,從而g()<g(-),
又g)=g()=0,所以g()<g(-),
因為g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,,-∈(-∞,0),
所以>-,故+>0.
(ⅱ)f(x)+f(-x)=4ex-e-2x+4e-x-e2x=-(ex+e-x)2+4(ex+e-x)+2
=-(ex+e-x-2)2+6≤6.
由(ⅰ)得+>0,所以>->0,
由f(x)在(,)上單調(diào)遞減,可得f()<f(-),
從而有f()+f()<f()+f(-)≤6,
所以f()+f()<6.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線:,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),直線與曲線分別交于、兩點(diǎn).
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求線段的長和的積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓柱的一條母線,已知BC過底面圓的圓心O,D是圓O上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn),:
(1)求直線AC與平面ABD所成角的大。
(2)求點(diǎn)B到平面ACD的距離;
(3)將四面體ABCD繞母線AB旋轉(zhuǎn)一周,求由旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體的體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高速公路隧道設(shè)計為單向三車道,每條車道寬4米,要求通行車輛限高5米,隧道全長1.5千米,隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀(如圖所示).
(1)若最大拱高為6米,則隧道設(shè)計的拱寬至少是多少米?(結(jié)果取整數(shù))
(2)如何設(shè)計拱高和拱寬,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最。浚ńY(jié)果取整數(shù))
參考數(shù)據(jù):,橢圓的面積公式為,其中,分別為橢圓的長半軸和短半軸長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為8的菱形中,,將沿折起,使點(diǎn)到達(dá)的位置,且二面角為.
(1)求異面直線與所成角的大。
(2)若點(diǎn)為中點(diǎn),求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友某日在某淘寶店的網(wǎng)購情況,隨機(jī)抽查了該市當(dāng)天名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況,得到如下統(tǒng)計表(如圖).
網(wǎng)購金額(單位:千元) | 頻數(shù) | 頻率 |
3 | 0.05 | |
9 | 0.15 | |
15 | 0.25 | |
18 | 0.30 | |
若網(wǎng)購金額超過千元的顧客定義為“網(wǎng)購達(dá)人”,網(wǎng)購金額不超過千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達(dá)人”,已知“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”人數(shù)比恰好為.
(Ⅰ)試確定的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);
(Ⅱ)該營銷部門為了進(jìn)一步了解這名網(wǎng)友的購物體驗,從“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”中用分層抽樣的方法抽取人,若需從這人中隨機(jī)選取人進(jìn)行問卷調(diào)查.設(shè)為選取的人中“網(wǎng)購達(dá)人”的人數(shù),求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線E:焦點(diǎn)F,過點(diǎn)F且斜率為2的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),且.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn),且
①證明:直線PQ必過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)G的坐標(biāo);
②過G作PQ的垂線交拋物線于C,D兩點(diǎn),求四邊形PCQD面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正三角形的邊長為,將它沿高折疊,使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為,則四面體外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)
1當(dāng)時,求不等式的解集;
2若關(guān)于x的不等式有實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.
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