Question

【題目】已知拋物線E：焦點(diǎn)F，過點(diǎn)F且斜率為2的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且．

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動點(diǎn)，且

①證明：直線PQ必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②過G作PQ的垂線交拋物線于C，D兩點(diǎn)，求四邊形PCQD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析，②88

【解析】

(1) 設(shè)直線：，聯(lián)立：，利用焦半徑公式可得的值，進(jìn)而可得拋物線E的方程；

(2) ①設(shè)直線PQ：聯(lián)立：得：，利用條件和韋達(dá)定理，可得的值，進(jìn)而可得定點(diǎn)G的坐標(biāo)；②求出和，進(jìn)而表示出四邊形PCQD面積，利用換元法可求得最小值.

解：(1) 設(shè)直線：，聯(lián)立：，得：，

∵，

∴p = 2，

∴拋物線方程為：；

(2) ①設(shè)直線PQ：

聯(lián)立：得：，

∴，

∵，

∴或（舍），

∴

②

同理

，

設(shè)，∴，

∵在遞增，

∴當(dāng)t = 2時(shí)，即時(shí)，∴