【題目】如圖,AB是圓柱的一條母線,已知BC過底面圓的圓心O,D是圓O上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn),:
(1)求直線AC與平面ABD所成角的大小;
(2)求點(diǎn)B到平面ACD的距離;
(3)將四面體ABCD繞母線AB旋轉(zhuǎn)一周,求由旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體的體積;
【答案】(1);(2);(3);
【解析】
(1)由AB⊥CD,BD⊥CD得出CD⊥平面ABD,故而∠CAD即為所求角,利用勾股定理得出AC,即可得出sin∠CAD;
(2)過B作BM⊥AD,垂足為M,通過證明平面ABD⊥平面ACD得出BM⊥平面ACD,利用等面積法求出BM;
(3)△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體為大圓錐中挖去一個(gè)小圓錐,使用作差法求出體積.
(1)∵AB⊥平面BCD,CD平面BCD,
∴AB⊥CD,
∵BC是圓O的直徑,
∴BD⊥CD,
又BD平面ABD,AB平面ABD,AB∩BDE=B,
∴CD⊥平面ABD.
∴∠CAD是AC與平面ABD所成的角.
∵AB=BC=5,∴AC=5,
∴sin∠CAD.
∴直線AC與平面ABD所成角的大小為.
(2)過B作BM⊥AD,垂足為M,
由(1)得CD⊥平面ABD,CD平面ACD,
∴平面ABD⊥平面ACD,
又平面ABD∩平面ACD=AD,BM平面ABD,BM⊥AD,
∴BM⊥平面ACD.
∵BD4,∴AD.
∴BM.即B到平面ACD的距離為.
(3)線段AC繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BC為底面半徑,以AB為高的圓錐,
線段AD繞AB旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以BD為底面半徑,以AB為高的圓錐,
∴△ACD繞AB旋轉(zhuǎn)一周而成的封閉幾何體的體積V15π.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且,關(guān)于軸對(duì)稱,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(1)若圓C與直線l:x+2y﹣4=0相交于M、N兩點(diǎn),且|MN|,求m的值;
(2)在(1)成立的條件下,過點(diǎn)P(2,1)引圓的切線,求切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)指令(,),機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作,先原地旋轉(zhuǎn)弧度(為正時(shí),按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),為負(fù)時(shí),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)),再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離r;
(1)現(xiàn)機(jī)器人在平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn),且面對(duì)x軸正方向,試給機(jī)器人下一個(gè)指令,使其移動(dòng)到點(diǎn);
(2)機(jī)器人在完成該指令后,發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)處有一小球,正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng),已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2倍,若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間,問機(jī)器人最快可在何處截住小球?并給出機(jī)器人截住小球所需的指令?(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】箱子里有16張撲克牌:紅桃、、4,黑桃、8、7、4、3、2,草花、、6、5、4,方塊、5,老師從這16張牌中挑出一張牌來(lái),并把這張牌的點(diǎn)數(shù)告訴了學(xué)生甲,把這張牌的花色告訴了學(xué)生乙,這時(shí),老師問學(xué)生甲和學(xué)生乙:你們能從已知的點(diǎn)數(shù)或花色中推知這張牌是什么牌嗎?于是,老師聽到了如下的對(duì)話:學(xué)生甲:我不知道這張牌;學(xué)生乙:我知道你不知道這張牌;學(xué)生甲:現(xiàn)在我知道這張牌了;學(xué)生乙:我也知道了.則這張牌是( )
A. 草花5B. 紅桃
C. 紅桃4D. 方塊5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四面體A-BCD中,有兩條棱的長(zhǎng)為,其余棱的長(zhǎng)度都為1;
(1)若,且,求二面角A-BC-D的余弦值;
(2)求a的取值范圍,使得這樣的四面體是存在的;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)、是雙曲線: 的兩個(gè)焦點(diǎn),是上一點(diǎn),若,是△的最小內(nèi)角,且,則雙曲線的漸近線方程是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(1)若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,,證明:(i);(ii).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開一壺水最省煤氣?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,
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