Question

設(shè)數(shù)列{a_n}共有n項(xiàng)（n≥3，n∈N^*），且a₁=a_n=1，對于每個(gè)i（1≤i≤n-1，n∈N^*）均有

ai+1

ai

∈{

1

2

，1，2}．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為

 

；
（2）當(dāng)n=8時(shí)，滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）分別取i=1，2，由a₁=a₃=1，

a2

a1

∈{

1

2

，1，2}，

a3

a2

∈{

1

2

，1，2}求得a₂的值，則滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)可求；
（2）令b_i=

ai+1

ai

 （1≤i≤7），則對每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}滿足條件：
b1b2…b7=

a2

a1

•

a3

a2

…

a8

a7

=

a8

a1

=1，且b_i∈{

1

2

，1，2}，反之符合上述條件的7項(xiàng)數(shù)列{b_n}，可唯一確定一個(gè)符合條件的8項(xiàng)數(shù)列{a_n}．由此結(jié)合組合數(shù)知識求得滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)n=3時(shí)，
∵

a2

a1

∈{

1

2

，1，2}，

a3

a2

∈{

1

2

，1，2}，
a₂∈{

1

2

，1，2}，

1

a2

∈{

1

2

，1，2}，
∴a2=

1

2

或a₂=1或a₂=2．
∴滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為3個(gè)；
（2）令b_i=

ai+1

ai

 （1≤i≤7），則對每個(gè)符合條件的數(shù)列{a_n}滿足條件：
b1b2…b7=

a2

a1

•

a3

a2

…

a8

a7

=

a8

a1

=1，且b_i∈{

1

2

，1，2}，
反之符合上述條件的7項(xiàng)數(shù)列{b_n}，可唯一確定一個(gè)符合條件的8項(xiàng)數(shù)列{a_n}．
記符合條件的數(shù)列{b_n}的個(gè)數(shù)為N，
顯然b_i（1≤i≤7）中有k個(gè)2，k個(gè)

1

2

，7-2k個(gè)1．
當(dāng)k給定時(shí)，{b_n}的取法有

C

k 7

C

k 7-k

種，易得k的可能值為0，1，2，3．
故N=1+

C

1 7

C

1 6

+

C

2 7

C

2 5

+

C

3 7

C

3 4

=393，
∴滿足條件的所有數(shù)列{a_n}的個(gè)數(shù)為393個(gè)．
故答案為：（1）3個(gè)；（2）393個(gè)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，解答此題的關(guān)鍵是對題意的理解，是中檔題．