Question

定義：x∈R且當(dāng)m-

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＜x≤m+

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3

（m∈Z）時(shí)，φ（x）=m；令函數(shù)f（x）=|x-φ（x）|，有以下三個(gè)命題：
①f（x）是最小正周期為1的周期函數(shù)；
②f（x）的值域?yàn)閇0，1]；
③f（x）在(k，k+

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3

]上是增函數(shù)（k∈Z），其中真命題的序號(hào)是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：①根據(jù)周期性的定義求證即可，②f（x）=|x-m|，又-

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＜x-m≤

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，即可求出f（x）的值域，③利用分段函數(shù)判斷其一個(gè)區(qū)間的增減性，再利用周期函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答： 解：∵x∈R且當(dāng)m-

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＜x≤m+

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（m∈Z）時(shí)，
∴m+1-

1

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＜x+1＜m+1+

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，-

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＜x-m≤

2

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，
∵φ（x）=m，
∴φ（x+1）=m+1
①∵f（x）=|x-φ（x）|，
∴f（x+1）=|x+1-φ（x+1）|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-φ（x）|=f（x），
∴f（x）是最小正周期為1的周期函數(shù)
故①正確；
②∵f（x）=|x-φ（x）|，φ（x）=m，
∴f（x）=|x-m|，
又-

1

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＜x-m≤

2

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，
∴f（x）的值域?yàn)閇0，

2

3

]．
故②錯(cuò)誤；
③∵f（x）=|x-m|，
∴f(x)=

x-m，x≥m -x+m，x＜m

∴f（x）在（0，

2

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]是增函數(shù)，
又f（x）是周期為1的周期函數(shù)，
∴f（x）在(k，k+

2

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]上是增函數(shù)（k∈Z），
故③正確．
∴其中真命題的序號(hào)是①③．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及值域，轉(zhuǎn)化思想時(shí)這類型題目常用的思想方法．