Question

【題目】如圖，已知橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線方程為，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）記、的面積分別為、，若，求的值；

（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程組，進(jìn)而可求出的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)題中三角形面積的比值，可得出，再由點(diǎn)、在橢圓上，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率；

（3）依題意可知，點(diǎn)、在橢圓上，根據(jù)點(diǎn)差法、三點(diǎn)共線、直線方程、斜率公式，化簡整理即可得出的值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

依題意，，且，解得，，故.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)，.

據(jù)題意，，即，整理可得，所以.

代入坐標(biāo)，可得，即.

又點(diǎn)、在橢圓上，所以，解得.

所以直線的斜率；

（3）依題意，點(diǎn)、在橢圓上，

所以，兩式相減，得

即，所以，即，

所以直線的方程為，令，得，即.

所以.

又直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，

整理得，

所以，得，.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

同理，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

又點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，

所以，整理得，

依題意，，，故.

由可得，，即.

所以.