【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣ 處取得極值.
(1)確定a的值;
(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)ex的單調(diào)性.

【答案】
(1)解:對f(x)求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2x.

∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣ 處取得極值,

∴f′(﹣ )=0,

∴3a +2(﹣ )=0,

∴a= ;


(2)解:由(1)得g(x)=( x3+x2)ex

∴g′(x)=( x2+2x)ex+( x3+x2)ex= x(x+1)(x+4)ex,

令g′(x)=0,解得x=0,x=﹣1或x=﹣4,

當(dāng)x<﹣4時,g′(x)<0,故g(x)為減函數(shù);

當(dāng)﹣4<x<﹣1時,g′(x)>0,故g(x)為增函數(shù);

當(dāng)﹣1<x<0時,g′(x)<0,故g(x)為減函數(shù);

當(dāng)x>0時,g′(x)>0,故g(x)為增函數(shù);

綜上知g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)內(nèi)為減函數(shù),在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)為增函數(shù)


【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),利用f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=﹣ 處取得極值,可得f′(﹣ )=0,即可確定a的值;(2)由(1)得g(x)=( x3+x2)ex , 利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得g(x)的單調(diào)性.
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.

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