【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1 (a>b>0)的左焦點為F1(﹣1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

【答案】
(1)解:因為橢圓C1的左焦點為F1(﹣1,0),所以c=1,

點P(0,1)代入橢圓 ,得 ,即b=1,

所以a2=b2+c2=2

所以橢圓C1的方程為


(2)解:直線l的斜率顯然存在,

設直線l的方程為y=kx+m,

,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

因為直線l與橢圓C1相切,

所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0

整理得2k2﹣m2+1=0①

,消去y并整理得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0

因為直線l與拋物線C2相切,所以△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0

整理得km=1②

綜合①②,解得

所以直線l的方程為


【解析】(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(﹣1,0),所以c=1,點P(0,1)代入橢圓 ,得b=1,由此能求出橢圓C1的方程.(2)設直線l的方程為y=kx+m,由 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.因為直線l與橢圓C1相切,所以△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0.由此能求出直線l的方程.
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程,掌握橢圓標準方程焦點在x軸:,焦點在y軸:即可以解答此題.

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