【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)恒成立.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】分析：(1）由函數(shù)的解析式可得，分類(lèi)討論有：

①若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

③若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

④若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

⑤若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

(2）不等式等價(jià)于.

令，由均值不等式可得.結(jié)合(1)的結(jié)論可知當(dāng)時(shí)，.令，則，故，原命題成立.

詳解：(1），

①若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.

②若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.

③若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.

④若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.

⑤若，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增.

(2）將整理可得：

，即.

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即.

當(dāng)時(shí)，由(1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以.

令，則在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

即對(duì)恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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C.
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