【題目】在直角坐標系xoy中,曲線C1: (t為參數,t≠0),其中0≤α<π,在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=2sinθ,曲線C3:ρ=2 cosθ. (Ⅰ)求C2與C3交點的直角坐標;
(Ⅱ)若C2與C1相交于點A,C3與C1相交于點B,求|AB|的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)曲線C2:ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2=2y,①
C3:ρ=2 cosθ,則ρ2=2 ρcosθ,即x2+y2=2 x,②
由①②得 或 ,
即C2與C3交點的直角坐標為(0,0),( , );
(Ⅱ)曲線C1的直角坐標方程為y=tanαx,
則極坐標方程為θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤a<π.
因此A得到極坐標為(2sinα,α),B的極坐標為(2 cosα,α).
所以|AB|=|2sinα﹣2 cosα|=4|sin(α )|,
當α= 時,|AB|取得最大值,最大值為4.
【解析】(Ⅰ)將C2與C3轉化為直角坐標方程,解方程組即可求出交點坐標;(Ⅱ)求出A,B的極坐標,利用距離公式進行求解.
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【題目】已知,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別為D1C1,C1B1的中點,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:
(1)D,B,E,F四點共面.
(2)若A1C交平面BDEF于點R,則P,Q,R三點共線.
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【題目】微信紅包是一款可以實現收發(fā)紅包、查收記錄和提現的手機應用.某網絡運營商對甲、乙兩個品牌各5種型號的手機在相同環(huán)境下,對它們搶到的紅包個數進行統(tǒng)計,得到如表數據:
型號 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
甲品牌(個) | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
乙品牌(個) | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
(Ⅰ)如果搶到紅包個數超過5個的手機型號為“優(yōu)”,否則“非優(yōu)”,請據此判斷是否有85%的把握認為搶到的紅包個數與手機品牌有關?
(Ⅱ)如果不考慮其它因素,要從甲品牌的5種型號中選出3種型號的手機進行大規(guī)模宣傳銷售.
①求在型號Ⅰ被選中的條件下,型號Ⅱ也被選中的概率;
②以X表示選中的手機型號中搶到的紅包超過5個的型號種數,求隨機變量X的分布列及數學期望E(X).
下面臨界值表供參考:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:K2= .
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【題目】如圖,在兩塊鋼板上打孔,用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘(圖1)穿在一起,在沒有帽的一端錘打出一個帽,使得與釘帽的大小相等.鉚合的兩塊鋼板,成為某種鋼結構的配件,其截面圖如圖2.(單位:mm,加工中不計損失).
(1)若釘身高度是釘帽高度的2倍,求鉚釘的表面積.
(2)若每塊鋼板的厚度為12mm,求釘身的長度(結果精確到1 mm).
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【題目】公元263年左右,我國數學家劉徽發(fā)現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時,多邊形的面積可無限接近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術”,利用“割圓術”,劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”,如圓是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖,則輸出的值為( )(參考數據:sin15°=0.2588,sin7.50=0.1305)
A.12
B.24
C.48
D.96
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【題目】設命題p:直線mx﹣y+1=0與圓(x﹣2)2+y2=4有公共點;設命題q:實數m滿足方程 + =1表示雙曲線.
(1)若“p∧q”為真命題,求實數m的取值范圍;
(2)若“p∧q”為假命題,“p∨q”為真命題,求實數m的取值范圍.
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【題目】定義在上的函數,如果滿足:對任意,存在常數,都有成立,則稱是上的有界函數,其中稱為函數的上界,已知函數.
(Ⅰ)若是奇函數,求的值.
(Ⅱ)當時,求函數在上的值域,判斷函數在上是否為有界函數,并說明理由.
(Ⅲ)若函數在上是以為上界的函數,求實數的取值范圍.
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【題目】隨著網絡的發(fā)展,人們可以在網絡上購物、玩游戲、聊天、導航等,所以人們對上網流量的需求越來越大.某電信運營商推出一款新的“流量包”套餐.為了調查不同年齡的人是否愿意選擇此款“流量包”套餐,隨機抽取50個用戶,按年齡分組進行訪談,統(tǒng)計結果如表.
組號 | 年齡 | 訪談人數 | 愿意使用 |
1 | [18,28) | 4 | 4 |
2 | [28,38) | 9 | 9 |
3 | [38,48) | 16 | 15 |
4 | [48,58) | 15 | 12 |
5 | [58,68) | 6 | 2 |
(Ⅰ)若在第2、3、4組愿意選擇此款“流量包”套餐的人中,用分層抽樣的方法抽取12人,則各組應分別抽取多少人?
(Ⅱ)若從第5組的被調查者訪談人中隨機選取2人進行追蹤調查,求2人中至少有1人愿意選擇此款“流量包”套餐的概率.
(Ⅲ)按以上統(tǒng)計數據填寫下面2×2列聯表,并判斷以48歲為分界點,能否在犯錯誤不超過1%的前提下認為,是否愿意選擇此款“流量包”套餐與人的年齡有關?
年齡不低于48歲的人數 | 年齡低于48歲的人數 | 合計 | |
愿意使用的人數 | |||
不愿意使用的人數 | |||
合計 |
參考公式: ,其中:n=a+b+c+d.
P(k2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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