Question

【題目】設(shè)命題p：直線mx﹣y+1=0與圓（x﹣2）2+y2=4有公共點(diǎn)；設(shè)命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程 + =1表示雙曲線．
（1）若“p∧q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若命題p：直線mx﹣y+1=0與圓（x﹣2）2+y2=4有公共點(diǎn)是真命題，

則圓心（2，0）到直線mx﹣y+1=0的距離不大于半徑，

即 ，

解得： ．

∴命題p真時(shí)， ．

命題p假時(shí)， ．

命題q：實(shí)數(shù)m滿足方程 + =1表示雙曲線是真命題，

則（m﹣1）（2﹣m）＜0，解得m＜1或m＞2．

命題q假時(shí)，1≤m≤2．

若“p∧q”為真命題，則p真q真，∴ ，解得m≤ ．

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（﹣∞， ]；

（2）解：若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，

當(dāng)p真q假時(shí)，則 ，不存在滿足條件的m值．

當(dāng)p假q真時(shí)，則 ，解得 ．

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（ ，1）．

【解析】求出p，q成立的等價(jià)條件，（Ⅰ）若“p∧q”為真命題，則p真q真，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（Ⅱ）若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，則p、q一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，求出m的取值范圍，當(dāng)p假q真時(shí)，求出m的取值范圍，然后取并集即可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了復(fù)合命題的真假的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他情況時(shí)為假；“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真才能正確解答此題．