【題目】如圖,已知直三棱柱的底面是直角三角形,.
Ⅰ求證:平面;
Ⅱ求二面角的余弦值;
Ⅲ求點到平面的距離.
【答案】Ⅰ證明見解析ⅡⅢ
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)直三棱柱中可以為坐標原點建立空間直角坐標系,求解平面的法向量并證明即可.
(Ⅱ)分別求解ABD的一個法向量與平面的一個法向量,利用二面角的向量公式求解即可.
(Ⅲ)根據(jù)線面垂直的關(guān)系可得點到平面的距離為,再求解即可.
依題意,以C為原點,CB為x軸,為y軸,CA為z軸,建立空間直角坐標系,
則,
,,
Ⅰ證明:,
設(shè)平面的一個法向量為,則,
令,則,
,即,
平面;
Ⅱ,
設(shè)平面ABD的一個法向量為,則,
令,則,
又平面的一個法向量為,
,
即二面角的余弦值為;
Ⅲ設(shè)點到平面的距離為d,則易知,而,
點到平面的距離為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)科站技術(shù)員為了解某品種樹苗的生長情況,在該批樹苗中隨機抽取一個容量為100的樣本,測量樹苗高度(單位:).經(jīng)統(tǒng)計,高度在區(qū)間內(nèi),將其按,,,,,分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,其中高度不低于的樹苗為優(yōu)質(zhì)樹苗.
附:
,其中
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)已知所抽取的這100棵樹苗來自于甲、乙兩個地區(qū),部分數(shù)據(jù)如下列聯(lián)表所示,將列聯(lián)表補充完整,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有%的把握認為優(yōu)質(zhì)樹苗與地區(qū)有關(guān)?
甲地區(qū) | 乙地區(qū) | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)樹苗 | 5 | ||
非優(yōu)質(zhì)樹苗 | 25 | ||
合計 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次數(shù)學(xué)知識比賽中共有6個不同的題目,每位同學(xué)從中隨機抽取3個題目進行作答,已知這6個題目中,甲只能正確作答其中的4個,而乙正確作答每個題目的概率均為,且甲、乙兩位同學(xué)對每個題目的作答都是相互獨立、互不影響的.
(1)求甲、乙兩位同學(xué)總共正確作答3個題目的概率;
(2)若甲、乙兩位同學(xué)答對題目個數(shù)分別是,,由于甲所在班級少一名學(xué)生參賽,故甲答對一題得15分,乙答對一題得10分,求甲乙兩人得分之和的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為9的圓錐和底面半徑為,高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與各自的高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個,則新的底面半徑為_________;若新圓錐的內(nèi)接正三棱柱表面積取到最大值,則此正三棱柱的底面邊長為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是一個三棱錐,是圓的直徑,是圓上的點,垂直圓所在的平面,,分別是棱,的中點.
(1)求證:平面;
(2)若二面角是,,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,點滿足方程.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)作曲線C關(guān)于軸對稱的曲線,記為,在曲線C上任取一點,過點P作曲線C的切線l,若切線l與曲線交于A,B兩點,過點A,B分別作曲線的切線,證明的交點必在曲線C上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅲ)對于任意,,都有,求實數(shù)的取值范圍.
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